Tezlik cavabı analizi¶

Məsələnin quruluşu¶

Tezlik cavabı analizi xarici qüvvə zaman üzrə harmonik dəyişdikdə sistemin sabit rejimdəki cavab amplitudasını və fazasını tezlik oblastında qiymətləndirən analizdir. Hərəkət tənliyi sönümlənmənin olub-olmamasından asılı olaraq fərqli çərçivədə nəzərdən keçirildiyi üçün bu fəsildə əvvəlcə sönümlənməsiz sərbəst rəqsdən modal formalar çıxarılır, sonra onlar modal baza kimi istifadə edilərək sönümlənmə şəraitində harmonik cavab genişləndirilir.

Sönümlənmə nəzərə alınmadıqda hərəkət tənliyi aşağıdakı kimi olur.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Bunu hər bir modal forma üzrə genişləndirdikdə

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

alınır. Bunu \(\eqref{eq:2.6.1}\) tənliyinə əvəz etdikdə

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

alınır. Bu ümumiləşdirilmiş xüsusi qiymət məsələsinin ədədi həll üsulları (sürüşdürülmüş tərs iterasiya və Lanczos üsulu) modal analiz bölməsində izah olunur. Bu bölmədə alınan təbii tezliklərin və modal formaların sonrakı harmonik cavab genişləndirilməsində istifadə olunan xüsusiyyətləri ümumiləşdirilir.

Təbii tezliklərin həqiqi olması¶

Təbii tezliyin həqiqi olduğu aşağıdakı kimi sübut edilir. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) qoyaq və \(\eqref{eq:2.6.3}\) tənliyinin kompleks qoşmasını götürdükdə \(\eqref{eq:2.6.4}\) alınır.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Bunu \(\overline{U}_J^T\) ilə vurduqda

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

alınır. \(\eqref{eq:2.6.5}\) tənliyindən

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

alınır. Burada kütlə matrisi müsbət müəyyən simmetrik matris olduğundan sıfır olmayan xüsusi vektor üçün

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ödənilir. Buna görə

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

olur və \(\omega_j^2 = \lambda_j\) həqiqi ədəddir.

İki müxtəlif modal formanı nəzərdən keçirək.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Buradan

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

alınır və xüsusi qiymətlər fərqli olduqda

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

olur. Yəni müxtəlif modal formalar kütlə matrisinə görə ortoqonaldır. Eyni modal forma üçün onu kütlə matrisinə görə normallaşdırmaq (\(\eqref{eq:2.6.12}\) tənliyi) sonrakı hesablamaları sadələşdirir.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Sönümlənmə şəraitində harmonik cavab¶

İndi sönümlənmə nəzərə alındıqda tezlik cavabı analizinin formullaşdırılması göstərilir. Baxılan hərəkət tənliyi \(\eqref{eq:2.6.13}\) tənliyində verilir.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Buradakı sönümlənmə həddinin Rayleigh tipli olduğu fərz edilir və \(\eqref{eq:2.6.14}\) tənliyi ilə ifadə olunur.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Modal analizdən alınan xüsusi vektorlardan istifadə etməklə yerdəyişmə vektoru t zamanında \(\eqref{eq:2.6.15}\) tənliyindəki kimi genişləndirilə bilər.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Xarici qüvvə həddinin harmonik forma olan

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

halında \(b_{j}(t)\) təyin edilir. \(\eqref{eq:2.6.13}\) hərəkət tənliyi məcburi rəqs formasında olduğuna görə

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ödənilir. \(b_{j}(t)\) genişlənmə əmsalının həqiqi və xəyali hissələri müvafiq olaraq \(\eqref{eq:2.6.18}i\) və \(\eqref{eq:2.6.19}\) tənliklərindəki formaya malikdir.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

olur.

Əlaqəli mövzular¶

Modal analiz — Əsas xüsusi qiymət məsələsinin formullaşdırılması
Dinamik analiz üsulları — Zaman oblastında dinamik analiz
Analiz tipləri — Tezlik cavabı analizinin funksional icmalı