Modal analiz - FrontISTR Multilingual Documentation

Ümumiləşdirilmiş məxsusi qiymət məsələsi¶

Kontinuumun sərbəst rəqs analizi aparıldıqda fəza üzrə diskretləşdirmə edilir və Şəkil 2.3.1-də göstərildiyi kimi cəmlənmiş kütlələrdən ibarət çox sərbəstlik dərəcəli sistemlə modelləşdirilir. Sönümlənməsiz sərbəst rəqs məsələsində idarəedici tənlik (hərəkət tənliyi) aşağıdakı kimidir.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Burada $u$ ümumiləşdirilmiş yerdəyişmə vektoru, $M$ kütlə matrisi, $K$ isə sərtlik matrisidir. Məxsusi bucaq tezliyini $\omega$, $a$, $b$, $c$-ni ixtiyari sabitlər, $x$-i isə vektor götürərək funksiyanı

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

təyin edək. Bu ifadəni və onun ikinci törəməsini, yəni

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

$\eqref{eq:2.3.1}$ tənliyinə yerinə qoyduqda

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

alınır. Yəni

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

əldə edilir.

Deməli, $\eqref{eq:2.3.5}$ tənliyini ödəyən $\lambda = \omega^2$ əmsalı və $x$ vektoru tapılarsa, $u(t)$ funksiyası $\eqref{eq:2.3.1}$ tənliyinin həlli olur.

$\lambda$ əmsalı məxsusi qiymət, $x$ vektoru məxsusi vektor adlanır və bunların $\eqref{eq:2.3.1}$ tənliyindən tapılması məsələsi ümumiləşdirilmiş məxsusi qiymət məsələsi adlanır.

Sönümlənməsiz sərbəst rəqs üçün çox sərbəstlik dərəcəli sistem nümunəsi

Şəkil 2.3.1　Sönümlənməsiz sərbəst rəqs üçün çox sərbəstlik dərəcəli sistem nümunəsi

Matrislərin xassələri və fərziyyələr¶

Əvvəlki bölmədə alınan ümumiləşdirilmiş məxsusi qiymət məsələsi $K x = \lambda M x$ üçün bu təlimatda aşağıdakı matris xassələri qəbul edilir. Bu fərziyyələr sonrakı sürüşdürməli tərs iterasiya üsulu və Lanczos üsulunun yaxınlaşması və tətbiq sahəsi üçün əsasdır. Yəni kompleks matrisdə transpozisiya komplekt konjuqata uyğun gəlir, real matrisdə isə matris simmetrikdir. Başqa sözlə, $K$ matrisinin $ij$ komponentini $k_{ij}$, $k$-nın kompleks konjuqatını isə $\bar{k}$ götürdükdə

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

əlaqəsi mövcuddur.

Bu təlimatda matrislərin simmetrik və müsbət müəyyən olduğu qəbul edilir. Müsbət müəyyən matris bütün məxsusi qiymətləri müsbət olan, başqa sözlə aşağıdakı $\eqref{eq:2.3.7}$ tənliyini həmişə ödəyən matrisdir.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Sürüşdürməli tərs iterasiya üsulu¶

Sonlu elementlər metodu ilə konstruksiya analizində praktik olaraq bütün məxsusi qiymətlərə ehtiyac olmur; çox vaxt yalnız bir neçə aşağı tərtibli məxsusi qiymət kifayətdir. HEC-MW böyük miqyaslı məsələləri nəzərdə tutduğundan matrislər böyük ölçülü və çox seyrəkdir (sıfır elementlərin sayı çoxdur). Buna görə aşağı tərtibli modların məxsusi qiymətlərini səmərəli tapmaq vacibdir.

Məxsusi qiymətlərin aşağı həddini $\sigma$ götürdükdə $\eqref{eq:2.3.5}$ tənliyi aşağıdakı kimi çevrilir (riyazi baxımdan ekvivalent tənlikdir).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Bu halda hesablama üçün aşağıdakı əlverişli xassələr yaranır.

Modlar tərsinə çevrilir.
$\rho$ ətrafındakı məxsusi qiymətlər maksimumlaşdırılır.

Praktik hesablamada çox vaxt ən böyük məxsusi qiymət əvvəl tapılır. Buna görə əsas yaxınlaşma hesablaması $\eqref{eq:2.3.5}$ tənliyindən çox $\eqref{eq:2.3.8}$ tənliyinə tətbiq edilir və $\rho$ ətrafındakı məxsusi qiymətlərdən başlayaraq tapmaq hədəflənir. Bu üsul sürüşdürməli tərs iterasiya adlanır.

Lanczos üsulu¶

Seçilmə səbəbi (Jacobi üsulu ilə müqayisə)¶

Klassik üsullar arasında Jacobi üsulu yaxşı tanınır.

Bu üsul matrisin ölçüsü kiçik və matris sıx olduqda effektivdir. Lakin HEC-MW-də işlənən matrislər böyük və seyrək olduğundan bu üsul deyil, Lanczos iterativ həll üsulu istifadə olunur.

Alqoritm və xüsusiyyətlər¶

1950-ci illərdə C. Lanczos tərəfindən təklif edilən bu üsul matrisi üçdiaqonallı formaya gətirən hesablama alqoritmidir və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.

İterativ yaxınlaşma üsuludur və hesablamanı matrisi seyrək saxlayaraq aparmağa imkan verir.
Alqoritmin əsasını matris-vektor hasilləri təşkil edir və paralelləşdirmə üçün uyğundur.
Sonlu element toru ilə əlaqəli həndəsi oblast parçalama üsuluna uyğundur.
Tapılacaq məxsusi qiymətlərin sayını və mod diapazonunu məhdudlaşdırmaqla səmərəli hesablama aparmağa imkan verir.

Lanczos üsulu başlanğıc vektordan başlayaraq ardıcıl ortoqonal vektorlar yaradır və altfəzanın bazisini hesablayır. Bu üsulun başqa iterativ həll üsulu olan altfəza üsulundan daha sürətli olduğu hesab edilir və sonlu element proqramlarında geniş istifadə olunur. Lakin bu üsul hesablama xətalarına həssasdır; vektorların ortoqonallığı itə və hesablama prosesində pozulma yarana bilər. Buna görə xətalara qarşı tədbirlər zəruridir.

Həndəsi məna (Krylov altfəzası)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ tənliyində dəyişənlər aşağıdakı kimi çevrildikdə

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

məsələ yenidən yazılaraq

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

əldə edilir.

Uyğun $q_0$ vektoruna $A$ matrisi ilə xətti çevirmə tətbiq edilir (Şəkil 2.3.2-yə baxın).

$$A$ matrisi ilə $q_0$-ın xətti çevrilməsi$

Şəkil 2.3.2　$A$ matrisi ilə $q_0$-ın xətti çevrilməsi

Çevrilmiş vektor ilkin vektorla yaratdığı fəzada ortoqonallaşdırılır. Yəni Şəkil 2.3.2-də göstərildiyi kimi Gram-Schmidt ortoqonallaşdırması aparılır. Belə alınan vektor $r_1$ götürülür, normallaşdırılır (uzunluğu 1 edilir) və $q_1$ əldə olunur (Şəkil 2.3.3). Eyni alqoritmlə $q_1$-dən $q_2$ əldə olunur. Bu zaman $q_2$ həm $q_1$, həm də $q_0$-a ortoqonaldır (Şəkil 2.3.4). Eyni hesablama davam etdirildikdə qarşılıqlı ortoqonal vektorlar ən çox matrisin tərtibinə qədər əldə edilir.

$$q_0$-a ortoqonal $q_1$ vektoru$

Şəkil 2.3.3　$q_0$-a ortoqonal $q_1$ vektoru

$$q_1$ və $q_0$-a ortoqonal $q_2$ vektoru$

Şəkil 2.3.4　$q_1$ və $q_0$-a ortoqonal $q_2$ vektoru

Xüsusilə Lanczos alqoritmi $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$ vektor ardıcıllığının,

başqa sözlə $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$ ardıcıllığının

Gram-Schmidt üsulu ilə ortoqonallaşdırılmasıdır. Bu vektor ardıcıllığı Krylov ardıcıllığı, onun yaratdığı fəza isə Krylov altfəzası adlanır. Bu fəzada Gram-Schmidt ortoqonallaşdırması aparıldıqda yalnız əvvəlki iki vektordan istifadə etməklə növbəti vektor tapılır. Buna Lanczos prinsipi deyilir.

Üçdiaqonallaşdırma¶

Yuxarıdakı iterasiyada i+1-ci hesablama

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kimi ifadə olunur. Burada

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

olur. Bu, matris şəklində yazıldıqda

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

alınır. Burada

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

olur. Yəni $\eqref{eq:2.3.13}$ tənliyindən alınan üçdiaqonallı matris üçün məxsusi qiymətlər hesablanaraq tələb olunan məxsusi qiymətlər əldə edilir.

Əlaqəli mövzular¶

Tezlik cavabı analizi — modal analiz nəticələrindən istifadə edən tezlik cavabı
Analiz növləri — modal analiz funksiyasının ümumi görünüşü