Məzmuna keç

Dinamik təhlil üsulları

Bu bölmədə birbaşa zaman inteqrasiyası tətbiq edilən dinamik məsələlərin təhlil üsulları göstərilir. Aşağıda qeyri-aşkar və aşkar üsulların formulasiyaları verilir.

Hərəkət tənliyinin diskretləşdirilməsi (ümumi çərçivə)

TBD (növbəti mərhələdə mətn tamamlanacaq).

Qeyri-aşkar üsul (Newmark-β üsulu)

Dinamik məsələlər üçün aşağıda göstərilən hərəkət tənliyinin həllinə birbaşa zaman inteqrasiyası üsulu tətbiq edilir.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Burada \(M\) kütlə matrisi, \(C\) sönümlənmə matrisi, \(Q\) daxili qüvvə vektoru, \(F\) isə xarici qüvvə vektorudur. Qeyd edək ki, qeyri-xətti təhlildə də kütlə matrisi deformasiyadan asılı olmayaraq sabit qəbul edilir.

\(\Delta t\) zaman artımı ərzində yerdəyişmə, sürət və təcilin dəyişməsi Newmark-\(\beta\) üsulu ilə \(\eqref{eq:2.5.2}\) və \(\eqref{eq:2.5.3}\) tənliklərində göstərildiyi kimi yaxınlaşdırılır.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Burada \(\gamma\) və \(\beta\) Newmark-\(\beta\) üsulunun parametrləridir.

Məlum olduğu kimi, \(\gamma\) və \(\beta\) üçün aşağıdakı qiymətlər müvafiq olaraq xətti təcil üsuluna və trapesiya qaydasına uyğun gəlir.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (xətti təcil üsulu)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapesiya qaydası)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) və \(\eqref{eq:2.5.3}\) tənliklərini \(\eqref{eq:2.5.1}\) tənliyində yerinə qoyduqda aşağıdakı tənlik alınır.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Xüsusən, xətti məsələ üçün \(K_L\) xətti sərtlik matrisidir və \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Bu ifadəni yuxarıdakı tənlikdə yerinə qoyduqda aşağıdakı tənlik alınır.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Təcilin həndəsi sərhəd şərti kimi verildiyi yerlərdə yerdəyişmə \(\eqref{eq:2.5.2}\) tənliyindən aşağıdakı kimi alınır.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Eyni qaydada, sürətin verildiyi yerlərdə yerdəyişmə \(\eqref{eq:2.5.6}\) tənliyindən aşağıdakı kimi alınır.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Burada, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) anındakı düyün yerdəyişməsi, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) isə \(t+\Delta{t}\) anındakı düyün sürətidir, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) anındakı düyün təcili, \(i\) düyünün sərbəstlik dərəcəsi nömrəsi, \(s\) isə düyün nömrəsidir. Kütlə və sönümlənmə terminləri aşağıdakı kimi işlənir.

Kütlə termininin işlənməsi

Kütlə matrisi, bir qayda olaraq, yığılmış kütlə matrisi kimi götürülür.

Sönümlənmə termininin işlənməsi

Sönümlənmə termini \(\eqref{eq:2.5.8}\) tənliyi ilə ifadə olunan Rayleigh sönümlənməsi kimi götürülür.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Burada \(R_m\) və \(R_k\) Rayleigh sönümlənməsinin parametrləridir.

!DYNAMIC kartında göstərilən \(R_m\) və \(R_k\) qiymətləri bütün modelə eyni qaydada tətbiq edilir. Hər material üçün fərqli \(R_m\) və \(R_k\) qiymətləri vermək üçün həmin materialın !MATERIAL blokunda !DAMPING kartını göstərin. !DAMPING göstərilmiş materiala aid elementlər üçün elementin kütlə matrisi \(M_i\) və toxunan sərtlik matrisi \(K_i\) əsasında \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) kimi element sönümlənmə matrisi hesablanır və qlobal sönümlənmə matrisinə yığılır. Bu funksiya yalnız qeyri-aşkar üsulda qüvvədədir.

Aşkar üsul (mərkəzi fərqlər üsulu)

Aşkar üsul aşağıda göstərilən, t anındakı hərəkət tənliyinə əsaslanır.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Burada \(t + \Delta t\) və \(t - \Delta t\) anlarındakı yerdəyişmələr \(t\) anı ətrafında Taylor sırasına açılır və \(\Delta t\) üzrə ikinci dərəcəyədək terminlər saxlanıldıqda aşağıdakılar alınır.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) və \(\eqref{eq:2.5.4}\) tənliklərinin fərqi və cəmi götürüldükdə aşağıdakı tənliklər alınır.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) və \(\eqref{eq:2.5.13}\) tənliklərini \(\eqref{eq:2.5.9}\) tənliyində yerinə qoyduqda aşağıdakı tənlik alınır.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Xüsusən, xətti məsələ üçün \(Q(t) = K_L U(t)\) olduğuna görə yuxarıdakı tənlik aşağıdakı şəklə düşür

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Burada kütlə matrisi \(M\) yığılmış kütlə matrisi, sönümlənmə matrisi isə proporsional sönümlənmə matrisi \(C = R_m M\) kimi götürüldükdə, \(\eqref{eq:2.5.15}\) tənliyi eyni vaxtlı tənliklər sisteminin həllini tələb etmir.

Beləliklə, \(\eqref{eq:2.5.15}\) tənliyindən \(U(t+\Delta t)\) aşağıdakı tənliklə hesablana bilər.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status