Məzmuna keç

Newton-Raphson üsulu

Xəttiləşdirmə və iterativ rekurrent düstur

Xarici qüvvələrin virtual işi və qlobal tənliklərin yığılması bölməsində əldə edilmiş \(t_{n+1}\) zamanındakı düyün yerdəyişməsi \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) üçün qeyri-xətti tənlik Newton-Raphson üsulu ilə həll edilir. \(t_n\) zamanına qədərki düyün yerdəyişməsi \(\boldsymbol{u}_n\) məlum qəbul edilir və yerdəyişmə artımı \(\Delta\boldsymbol{u}\) naməlum dəyişən kimi götürülərək

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

tapılır. Bundan sonra xarici qüvvə vektorunun düyün yerdəyişməsindən asılılığı nəzərə alınmır və \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) qəbul edilərək

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

həll edilir.

Cari həll \(\Delta\boldsymbol{u}\) üçün toxunan sərtlik

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

istifadə edilərək qeyri-xətti tənlik xəttiləşdirildikdə

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

alınır. \(i\)-ci iterasiyadakı düzəliş \(d\boldsymbol{u}_i\), iterasiyanın başlanğıcındakı qalıq vektoru isə

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

kimi yazıldıqda iterativ rekurrent düstur

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

formasını alır. Qalıq \(\boldsymbol{R}_i\) tarazlıqdan qüvvə uyğunsuzluğunu ifadə edən kəmiyyətdir.

Toxunan sərtlik matrisinin qurulması

Toxunan sərtlik \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi bölməsində alınmış element daxili qüvvə vektorunun düyün yerdəyişməsinə görə qismən törəməsinin götürülməsi, element səviyyəsində alınan inteqralaltı ifadələrin element oblastında inteqrallanması və onların yığılması ilə qurulur. Element səviyyəsində inteqralaltı ifadəni \(\boldsymbol{K}^e_X\) (istinad konfiqurasiyası yazılışı, TL üsulu) və ya \(\boldsymbol{K}^e_x\) (cari konfiqurasiya yazılışı, UL üsulu) kimi işarə etdikdə element toxunan sərtliyi

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

ilə verilir. Aşağıda TL/UL inteqralaltı ifadələrinin son forması göstərilir. Hər ikisi material sərtliyi həddi (ilkin yerdəyişmə həddi) və həndəsi sərtlik həddinin (ilkin gərginlik həddi) cəminə ayrılır.

Total Lagrange üsulu

Total Lagrange üsulunda ikinci Piola-Kirchhoff gərginlik sürəti \(\dot{\boldsymbol{S}}\) ilə Green-Lagrange deformasiya sürəti \(\dot{\boldsymbol{E}}\) arasında \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) xətti əlaqəsi qəbul edilir. Bu, xətti elastik materialların (St.Venant-Kirchhoff materialları) və hiperelastik materialların konstitutiv qanunlarına uyğundur və FrontISTR-də Total Lagrange üsulu bu materiallar üçün istifadə edilir. Bu halda element toxunan sərtliyinin inteqralaltı ifadəsi tenzor formasında

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

kimi yazılır. Sağ tərəfdəki birinci hədd material sərtliyi həddi (ilkin yerdəyişmə həddi), ikinci hədd isə həndəsi sərtlik həddidir (ilkin gərginlik həddi).

FrontISTR-in reallaşdırılmasında bu inteqralaltı ifadə Voigt yazılışından istifadə edən matris formasında

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

hesablanır. Matrislər aşağıdakı kimidir. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi bölməsində daxil edilmiş B matrisləridir, \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) isə konstitutiv tenzor \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)-nin Voigt yazılışındakı \(6\times 6\) material sərtliyi matrisidir (tenzor yazılışı və riyazi əsaslar). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) həndəsi sərtlik həddini matris hasili kimi ifadə etmək üçün istifadə olunan aşağıdakı yenidən sıralama matrisləridir. Əvvəlcə \(3\times 3\) ikinci tərtib tenzor \(\boldsymbol{A}\)-nı 9 komponentli vektora yenidən düzən \([\,\cdot\,]\) işarəsini

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

kimi təyin edək. Bu halda \(\boldsymbol{F}_9\) deformasiya qradiyentinin variasiyasını \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) şəklində ifadə edən \(9\times d n_e\) matrisidir və element düyünü \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) üçün uyğun \(9\times d\) blok

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ } 3\times 3 \text{ vahid matrisidir}) \]

şəklindədir. Bu bloklar element düyünlərinin ardıcıllığı ilə üfüqi yerləşdirilərək \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) alınır. \(\boldsymbol{S}_9\) bununla birlikdə həndəsi sərtlik həddinin \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) şəklində ifadə olunmasını təmin edən \(9\times 9\) matrisdir:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

olur.

Updated Lagrange üsulu

Updated Lagrange üsulunda nisbi Kirchhoff gərginlik tenzorunun Jaumann sürəti \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ilə deformasiya sürəti tenzoru \(\boldsymbol{D}\) arasında \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) xətti əlaqəsi qəbul edilir. Bu, xətti elastik, elastoplastik və sürünmə materialları üçün ümumi olan hipoelastik konstitutiv qanun formasıdır və FrontISTR-də Updated Lagrange üsulu bu materiallar üçün istifadə edilir. Bu halda cari konfiqurasiyada ifadə olunmuş element toxunan sərtliyinin inteqralaltı ifadəsi tenzor formasında

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

kimi yazılır (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell sürətidir, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformasiyasının xətti hissəsidir, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) cari konfiqurasiyaya görə yerdəyişmə qradiyentidir, \(\boldsymbol{L}\) isə sürət qradiyenti tenzorudur). Sağ tərəfdəki birinci hədd material sərtliyi həddi, ikinci hədd isə həndəsi sərtlik həddidir.

FrontISTR-in reallaşdırılmasında bu inteqralaltı ifadə Voigt yazılışından istifadə edən matris formasında

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

hesablanır. \(\boldsymbol{b}\) cari konfiqurasiyada qurulan B matrisidir (daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) TL üsulu üçün təyin edilmiş \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) matrislərində ikinci PK gərginliyi \(\boldsymbol{S}\)-in Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\) ilə, istinad konfiqurasiyasındakı qradiyent \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-nin isə cari konfiqurasiyadakı qradiyent \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ilə əvəz edilməsi ilə alınır.

\(\boldsymbol{G}\) hipoelastik konstitutiv qanun \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)-ni Truesdell sürətinə əsaslanan konstitutiv qanun kimi toxunan sərtlik çərçivəsinə uyğunlaşdırmaq üçün tələb olunan, Cauchy gərginliyindən asılı düzəliş matrisidir və dördüncü tərtib tenzor komponentləri \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) \(6\times 6\) Voigt yazılışında aşağıdakı kimi düzülür:

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

olur.

Qlobal sərtlik matrisinin yığılması

Qlobal toxunan sərtlik \(\boldsymbol{K}\) element sərtliyi \(\boldsymbol{K}^e\)-ni düyün cütləri üzrə \(d\times d\) bloklara \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) ayırmaqla və element düyün fiziki kəmiyyətlərinin yığılması bölməsində daxil edilmiş ikinci tərtib tenzor üçün yığma çoxluğu \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)-dən istifadə etməklə

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

qiymətlərinin \(i_g\) sətri və \(i_h\) sütunu üzrə yerləşdirildiyi matris kimi alınır. Reallaşdırmada \(\mathcal{E}^2\) çoxluğu açıq şəkildə yaradılmır; əvəzində element dövrü daxilində uyğun bloklara birbaşa əlavə edilir. Matrisin ölçüsü düyün başına sərbəstlik dərəcələrinin sayı \(\times\) ümumi düyün sayı \(n_g\) olan kvadrat matrisdir, lakin element vasitəsilə əlaqələnən düyünlər arasındakılar istisna olmaqla komponentlər \(0\) olduğundan seyrək matris formatında saxlanılır.

TL və UL üsullarının element sərtlikləri istinad konfiqurasiyasının dəyişdirilməsi (düyün koordinatları və B matrisinin qurulduğu mənbə) və \(\boldsymbol{G}\) matrisinin olub-olmaması istisna olmaqla eyni formadadır; buna görə FrontISTR hər iki üsulu ümumi altproqramda həyata keçirir.

İterasiya alqoritmi

Yuxarıdakıları ümumiləşdirsək, iterasiyanın başlanğıcında \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) götürülür və ilkin qalıq \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) hesablanır. Bundan sonra \(i\)-ci iterasiyada aşağıdakı prosedur yerinə yetirilir.

  1. Cari yerdəyişmə \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) üçün toxunan sərtlik \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) toxunan sərtlik matrisinin qurulması proseduru ilə hesablanır.
  2. Həndəsi sərhəd şərtlərini tətbiq etmək üçün yerdəyişmə məhdudiyyəti qoyulan sərbəstlik dərəcələri üzrə toxunan sərtlik matrisi və qalıq vektoru dəyişdirilir və \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) alınır (həndəsi sərhəd şərtlərinin emalı).
  3. \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) xətti tənliyi həll edilir və düzəliş \(d\boldsymbol{u}_i\) tapılır. Bu prosedur çox vaxt iterativ hesablamanın hesablama yükünün böyük hissəsini təşkil edir.
  4. Yerdəyişmə artımı \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) kimi yenilənir və buna uyğun daxili qüvvə vektoru \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) və qalıq \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) hesablanır.
  5. Yığılma yoxlanılır və əldə edilibsə iterasiya dayandırılır. Həndəsi sərhəd şərti qoyulmuş sərbəstlik dərəcələrində qalıq \(\boldsymbol{R}_i\) daxilində məhdudiyyət reaksiya qüvvələrinə uyğun komponentlər yarandığı üçün bu komponentlər çıxarıldıqdan sonra \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) əsasında yığılma göstəricisi qurulur. Konkret yığılma göstəriciləri və hədd qiymətləri yığılma meyarları bölməsində izah edilir. Yığılma əldə edilmədən iterasiya həddinə çatıldıqda iterasiya uğursuz hesab olunur.

İterasiya yığıldıqda həmin andakı \(\Delta\boldsymbol{u}\) \(\boldsymbol{u}_n\)-ə əlavə edilir və \(t_{n+1}\) zamanındakı yığılmış yerdəyişmə \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) alınaraq növbəti zaman addımına keçilir.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status