Tensor işarələməsi və riyazi əsaslar¶

Bu fəsildə FrontISTR nəzəriyyə təlimatının sonrakı fəsillərində istifadə edilən tensor, indeks və Voigt işarələməsi qaydaları bir yerə toplanır. Burada fiziki kəmiyyətlərin tərifindən asılı olmayan yalnız saf işarələmə qaydaları verilir. Kontinuumun hərəkəti ilə bağlı konfiqurasiyadan (istinad/cari konfiqurasiya) asılı işarələmə qaydaları (böyük və kiçik hərflərin istifadəsi, material və fəza törəmələrinin fərqləndirilməsi) konfiqurasiya anlayışının təqdim edildiyi Hərəkət, deformasiya və deformasiya ölçüləri bölməsində verilir.

Tensor işarələməsi¶

Vektor və tensorların qalın şriftlə işarələnməsi¶

Şriftə dair əsas qayda olaraq skalyar kəmiyyətlər və vektor/tensorların komponentləri adi şriftlə (\(\rho\), \(x_i\) və s.), vektor/tensor kəmiyyətlərinin özləri isə qalın şriftlə (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) və s.) göstərilir.

Einstein cəmləmə qaydası¶

Xüsusi qeyd olmadıqda, eyni indeks bir hədd daxilində iki dəfə göründükdə həmin indeks üzrə cəmləməni nəzərdə tutan Einstein cəmləmə qaydası tətbiq edilir. Məsələn,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

və \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) tensorlarının hasili \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) üçün \(i,j\) komponenti

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

olur. İndeks qaydası olaraq xüsusi qeyd olmadıqda \(i, j, k, l, \ldots\) sərbəstlik dərəcələrinə aid indeksləri (üçölçülü halda \(1, 2, 3\)), kiçik yunan hərfləri \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) isə elementi təşkil edən düyünlərə aid indeksləri bildirir.

Skalyar hasil, transpozisiya və tensor hasili¶

Tensor \(\boldsymbol{A}\)-nın transpozisiyası \(\boldsymbol{A}^T\) ilə göstərilir. İkinci tərtib \(\boldsymbol{A}\) və \(\boldsymbol{B}\) tensorlarının daxili hasili (ikiqat kontraksiya)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

kimi işarələnir. \(\boldsymbol{a}\) və \(\boldsymbol{b}\) vektorlarının daxili hasili \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), tensor hasili isə \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)-dir.

Voigt işarələməsi¶

Gərginlik və deformasiya sərbəstlik dərəcələrinə görə ikinci tərtib simmetrik tensorlardır, onların arasındakı xətti əlaqəni ifadə edən əmsal isə dördüncü tərtib tensordur. Bunları proqramda birbaşa işləmək hesablama yükü və proqramlaşdırma (çoxölçülü massivlər və dərin iç-içə dövrlər) baxımından əlverişsizdir. Buna görə adi sonlu element proqramlarında simmetriya nəzərə alınaraq gərginlik və deformasiya sütun vektorlarına, dördüncü tərtib elastiklik tensoru isə ikiölçülü matrisə sıxlaşdırılır. Buna Voigt işarələməsi deyilir.

Aşağıda tensor kəmiyyəti \(\boldsymbol{A}\)-nın matris/vektor təsviri \(\hat{A}\) ilə göstərilir və ilkin tensordan fərqləndirilir.

Gərginlik və deformasiyanın vektor işarələməsi¶

Simmetrik gərginlik tensoru \(\boldsymbol{\sigma}\) və deformasiya tensoru \(\boldsymbol{\varepsilon}\) üçün ikiölçülü halda

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

üçölçülü halda isə

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

kimi sütun vektorları şəklində işlənir. Eyni qayda variasiya və törəmə kimi törəmə kəmiyyətlərə də tətbiq edilir. Deformasiya tərəfindəki sürüşmə komponentlərinə 2 əmsalının vurulduğuna diqqət edin (gərginlik tərəfində vurulmur). Bu asimmetriya sayəsində tensorların daxili hasili vektor daxili hasili kimi

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

şəklində yığcam yazıla bilər. İmplementasiyada sürüşmə deformasiyası komponentinin 2 qat əmsalını qarışdırmaq asan olduğundan həmişə “gərginlikdə yoxdur / deformasiyada var” qaydası nəzərə alınmalıdır. İstinad konfiqurasiyası kəmiyyətlərinə (ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{S}\) və Green-Lagrange deformasiyası \(\boldsymbol{E}\)) də tam eyni Voigt qaydası tətbiq olunur.

Dördüncü tərtib tensorun matris işarələməsi¶

Gərginlik ilə deformasiya arasındakı xətti əlaqə \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponent şəklində \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) üçün \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-in simmetriyasından istifadə etdikdə

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

kimi yenidən yazıla bilər. Üçölçülü halda \(\tilde{C}\) 6×6 material matrisi \(\hat{\tilde{C}}\) şəklində düzülərsə, ilkin tensor əlaqəsi

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

kimi ifadə edilə bilər. Aşağıda bu təlimatda xüsusi qeyd olmadıqda material matrisi \(D\) (və ya \(\hat{C}\)) ilə göstərilir. İzotrop xətti elastiklik üçün konkret komponentlərə Xətti elastiklik bölməsində baxın.

Diferensial operatorların qaydaları¶

Simmetrik qradiyent operatoru¶

Vektor sahəsi \(\boldsymbol{u}\) üçün simmetrik qradiyent operatoru \(\nabla_S\)

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

kimi təyin edilir. Komponent şəklində \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)-dir. Kiçik deformasiya \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) bu operatorla yığcam ifadə edilir. Sonlu deformasiyada qradiyentin hansı konfiqurasiyada (istinad/cari) götürülməsi Hərəkət, deformasiya və deformasiya ölçüləri bölməsində izah edilir.

Material zaman törəməsi¶

Hər hansı \(A\) kəmiyyətinin material zaman törəməsi (eyni material nöqtəsini izləyən zaman törəməsi) üst nöqtə ilə \(\dot{A}\) kimi göstərilir:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Sürət və təcil bu qaydaya uyğun göstərilir.

Əlaqəli mövzular¶

Hərəkət, deformasiya və deformasiya ölçüləri — istinad/cari konfiqurasiya anlayışları və konfiqurasiyadan asılı işarələmə qaydaları (böyük/kiçik hərflər, material/fəza törəməsi)
Gərginlik və qorunma qanunları — bu işarələmədən istifadə etməklə idarəedici tənliklərin çıxarılması
Virtual iş prinsipi — zəif forma və Voigt işarələməsinin istifadəsi
Xətti elastiklik — material matrisi \(D\)-nin konkret forması
Forma funksiyaları və sonlu element yaxınlaşması — Voigt işarələməsi ilə element sərtliyinin hesablanması