Məzmuna keç

Virtual iş prinsipi

Gərginlik və qorunma qanunları bölməsində çıxarılan tarazlıq tənliyi və sərhəd şərtləri əsasında kontinuum mexanikasının sərhəd qiymət məsələsinin zəif forması olan virtual iş prinsipi çıxarılır. Sonlu elementlər metodu ilə diskretləşdirmə bu zəif formadan başlayır. Bu fəsildə həm cari konfiqurasiyada (Cauchy gərginliyi və Almansi deformasiya tensorunun xətti hissəsi ilə ifadə), həm də istinad konfiqurasiyasında (ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi və Green-Lagrange deformasiyası ilə ifadə) formalar təqdim edilir, onların ekvivalentliyi göstərilir və sonra kiçik deformasiya halına reduksiya təsdiqlənir.

Tarazlıq tənliyi və sərhəd şərtləri

Kontinuuma təsir edən cisim qüvvəsini (vahid kütləyə görə) \(\boldsymbol{g}\) ilə işarə edək və cari konfiqurasiyada \(\Omega\) oblastını tutan cismi nəzərdən keçirək. Sərhəd \(\Gamma\), yerdəyişmənin \(\bar{\boldsymbol{u}}\) kimi verildiyi həndəsi sərhəd \(\Gamma_B\) və səth qüvvəsinin \(\bar{\boldsymbol{t}}\) kimi verildiyi mexaniki sərhəd \(\Gamma_t\) hissələrinə bölünür; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) qəbul edilir. Statik məsələdə Gərginlik və qorunma qanunları bölməsində göstərilən impulsun qorunması qanunundakı ətalət həddi çıxarılaraq

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{daxilində} \ \Omega \]

tarazlıq tənliyi kimi qəbul edilir. Sərhəd şərtləri

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{üzərində} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{üzərində} \ \Gamma_B \]

ilə verilir. Aşağıda virtual iş prinsipi tarazlıq tənliyinin və mexaniki sərhəd şərtinin \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) zəif forması kimi çıxarılır. Həndəsi sərhəd şərti \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) sınaq funksiyasının seçimi ilə nəzərə alınır.

Cari konfiqurasiyada zəif forma

Zəif formada naməlum yerdəyişmənin mümkün fəzası və sınaq funksiyaları fəzası müvafiq olaraq

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{üzərində} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{üzərində} \ \Gamma_B \} \]

kimi götürülür. Burada \(d\) fəza ölçüsüdür, \(H^1(\Omega)\) birinci tərtib zəif törəmələrə qədər kvadratı inteqrallanan Sobolev fəzasıdır, \(\delta\) isə variasiya işarəsidir. Cari konfiqurasiya ifadəsində \(\Omega\) deformasiyadan sonrakı konfiqurasiyadır; faktiki ədədi həll üsulunda bu, istinad konfiqurasiyasına və ya məlum aralıq konfiqurasiyaya geri çəkilərək işlənir.

Tarazlıq tənliyinə \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) çəkisi vurulub Gauss-un divergensiya teoremi və mexaniki sərhəd şərti tətbiq edildikdə, cari konfiqurasiyada virtual iş prinsipi aşağıdakı formaya gəlir.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Burada \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi deformasiya tensorunun xətti hissəsidir və

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ilə təyin olunur. Onun variasiyası \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\)-dir. Yəni \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tapılmalı və istənilən \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) üçün virtual iş tənliyinin ödənməsi tələb olunur. Sol tərəf daxili qüvvələrin virtual işidir, sağ tərəf isə verilmiş səth qüvvələrinin və cisim qüvvələrinin xarici virtual işidir.

Bu ifadə deformasiyadan sonrakı oblastda (cari konfiqurasiyada) yazıldığı üçün faktiki həll üsulunda başlanğıc konfiqurasiya \(\Omega_0\) (istinad konfiqurasiyası) və ya məlum aralıq konfiqurasiya yenidən istinad konfiqurasiyası kimi seçilir, ifadə inkremental formaya çevrilir və sonra həll edilir. İstinad konfiqurasiyasının konkret seçimi (Total Lagrange / Updated Lagrange) və inkremental parçalanma üçün İnkremental analiz çərçivəsi-nə baxın.

Başlanğıc konfiqurasiyada zəif forma

İstinad konfiqurasiyasında \(\Omega_0\) oblastını tutan cismi nəzərdən keçirək və onun sərhədi \(\Gamma_0\)-ı \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) hissələrinə bölək. Cari konfiqurasiya ifadəsi istinad konfiqurasiyasına geri çəkildikdə, gərginlik-deformasiya qoşa cütü ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{S}\) və Green-Lagrange deformasiyası \(\boldsymbol{E}\) olur. Bu halda başlanğıc konfiqurasiyada virtual iş prinsipi

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

kimi yazıla bilər. Burada \(\rho_0\) istinad konfiqurasiyasındakı kütlə sıxlığıdır və kütlənin qorunması qanunu \(\rho_0 = J\rho\) sayəsində cari konfiqurasiyadakı həcm qüvvəsi ifadəsinə ekvivalentdir.

Cari və başlanğıc konfiqurasiya ifadələrinin ekvivalentliyi

Hər iki ifadədə daxili qüvvələrin virtual işi deformasiya qradiyenti \(\boldsymbol{F}\) və həcm nisbəti \(J = \det \boldsymbol{F}\) vasitəsilə çevirmə nəticəsində üst-üstə düşür. Yəni

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

olur. Xarici qüvvə hədləri də kütlənin qorunması qanunu və səth qüvvəsinin çevrilməsi ilə ekvivalentdir. Beləliklə, cari konfiqurasiyadakı və başlanğıc konfiqurasiyadakı virtual iş tənlikləri eyni prinsipi müxtəlif konfiqurasiyalarda ifadə edir. İstinad konfiqurasiyasına əsaslanan həll Total Lagrange üsuluna, cari konfiqurasiyaya (əvvəlki yaxınlaşmış konfiqurasiyaya) əsaslanan həll isə Updated Lagrange üsuluna uyğundur.

Kiçik deformasiyaya reduksiya

Kiçik deformasiya fərziyyəsi \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) altında cari və istinad konfiqurasiyaları arasındakı fərq aradan qalxır, ikinci PK gərginliyi Cauchy gərginliyinə yaxınlaşır (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), Green-Lagrange deformasiyası və Almansi deformasiya tensorunun xətti hissəsi isə hər ikisi kiçik deformasiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ə reduksiya olunur.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Bu halda virtual iş prinsipi Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\) və kiçik deformasiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ilə verilən zəif formaya

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{üzərində} \ \Gamma_B \]

reduksiya olunur. Bu, kiçik deformasiya və xətti elastik statik analizdə diskretləşdirmə üçün birbaşa istifadə olunan zəif formadır (Xətti elastik statik analiz (giriş və əlavə) bu formadan başlayaraq element sərtliyi \(\boldsymbol{K}^e\)-nin qurulmasını və qlobal tənlik \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)-in yığılmasını göstərir).

Xətti elastik konstitutiv qanun \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) yerinə qoyulub Voigt işarələməsində \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) yazıldıqda, zəif forma

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

şəklini alır.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status