Gərginlik və qorunma qanunları¶

Bu fəsildə gərginlik tensorlarının tərifi və qarşılıqlı əlaqələri, həmçinin kütlə, impuls və bucaq impulsunun qorunması qanunlarından çıxan tarazlıq tənlikləri və gərginlik simmetriyası ümumiləşdirilir. Üç növ gərginlik tensoru — Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\), birinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{P}\) və ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{S}\) — istinad səthi və qüvvə vektoru üçün hansı konfiqurasiyanın seçilməsindən asılı olaraq təqdim olunur. Konfiqurasiya, hərəkət və deformasiya qradiyentinin tərifləri üçün Hərəkət, deformasiya və deformasiya ölçüləri, simvollar siyahısı üçün Fiziki kəmiyyətlərin simvollar siyahısı bölməsinə baxın.

Cauchy gərginlik tensoru¶

Cari konfiqurasiyada \(\boldsymbol{x}\) nöqtəsindəki kiçik səthə (sahəsi \(d\Gamma\), xaricə yönəlmiş vahid normalı \(\boldsymbol{n}\)) təsir edən qüvvəni \(d\boldsymbol{f}\) kimi götürək və gərginlik vektoru \(\boldsymbol{t}\)-ni vahid sahəyə düşən qüvvə ilə \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) şəklində təyin edək. \(\boldsymbol{t}\) həm mövqe \(\boldsymbol{x}\)-dən, həm də normal \(\boldsymbol{n}\)-dən asılıdır. Kiçik tetraedrə impulsun qorunması qanunu tətbiq edildikdə \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\)-ə görə xətti olur və ikinci tərtib tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) mövcuddur ki,

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

istənilən \(\boldsymbol{n}\) üçün ödənir (Cauchy gərginlik teoremi). Bu tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy gərginlik tensoru adlanır və cari konfiqurasiyanın həndəsisinə əsaslanan vahid sahəyə düşən qüvvə mənasında həqiqi gərginlik də adlandırılır. \(\sigma_{ij}\) komponenti cari konfiqurasiyada \(x_j\) koordinat oxuna perpendikulyar kiçik səthin vahid sahəsinə təsir edən qüvvənin \(x_i\) komponentini göstərir.

Aşağıda göstərilən bucaq impulsunun qorunması qanununa görə Cauchy gərginliyi simmetrik tensordur:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

və üçölçülü halda 6 müstəqil komponentə (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) malikdir. Voigt işarələməsi ilə gərginliyin vektorlaşdırılması bu simmetriyaya əsaslanır (Tensor işarələməsi və riyazi əsaslar bölməsinə baxın). Cauchy gərginliyi FrontISTR-də Updated Lagrange üsulu ilə həndəsi qeyri-xətti analizdə və kiçik deformasiya analizində gərginlik çıxışı üçün istifadə olunur.

Birinci və ikinci Piola-Kirchhoff gərginlikləri¶

Sonlu deformasiyada gərginliyi istinad konfiqurasiyasının səthi və vektoru ilə ifadə etmək çox vaxt daha əlverişlidir; buna görə iki növ Piola-Kirchhoff gərginlik tensoru təqdim edilir. İstinad konfiqurasiyasında kiçik səthin sahəsi \(d\Gamma_0\), xaricə yönəlmiş vahid normalı isə \(\boldsymbol{N}\) olsun.

Birinci Piola-Kirchhoff gərginliyi (birinci PK gərginliyi, nominal gərginlik) \(\boldsymbol{P}\) cari konfiqurasiyadakı \(d\boldsymbol{f}\) qüvvəsinin istinad konfiqurasiyasındakı kiçik səthə təsir etdiyi halda gərginlik tensoru kimi

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ilə təyin olunur. Nanson düsturu \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) və Cauchy gərginlik teoremindən Cauchy gərginliyi ilə əlaqə

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

alınır. Birinci PK gərginliyi ümumiyyətlə qeyri-simmetrik tensordur.

İkinci Piola-Kirchhoff gərginliyi (ikinci PK gərginliyi) \(\boldsymbol{S}\) cari konfiqurasiyadakı \(d\boldsymbol{f}\) qüvvəsi \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ilə istinad konfiqurasiyasına geri çəkildikdən sonra istinad konfiqurasiyasındakı kiçik səthə təsir etdikdə yaranan gərginlik tensoru kimi

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ilə təyin olunur. Həm qüvvə vektoru, həm də təsir səthi istinad konfiqurasiyası kəmiyyətləri ilə ifadə olunur; tensor sərt cismin fırlanmasına görə invariant və simmetrikdir. Birinci PK gərginliyi ilə əlaqəsi və Cauchy gərginliyinə çevirmə düsturu

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

şəklindədir. İkinci PK gərginliyi hiperelastik deformasiya enerjisi funksiyası \(W(\boldsymbol{C})\)-dən \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) kimi çıxarılır və Total Lagrange üsulunda Green-Lagrange deformasiyası \(\boldsymbol{E}\) ilə birlikdə gərginlik-deformasiya qoşa cütü \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) kimi istifadə olunur.

İstinad konfiqurasiyası və simmetriya aşağıdakı cədvəldə göstərilmişdir. Kiçik deformasiya həddində (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) üç gərginlik növü üst-üstə düşür.

Gərginlik tensoru	İstinad səthi	Qüvvə vektoru	Simmetriya	Tətbiq
Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\)	Cari konfiqurasiya \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Cari konfiqurasiya \(d\boldsymbol{f}\)	Simmetrik	Updated Lagrange üsulu və kiçik deformasiya analizi
Birinci PK gərginliyi \(\boldsymbol{P}\)	İstinad konfiqurasiyası \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Cari konfiqurasiya \(d\boldsymbol{f}\)	Ümumiyyətlə qeyri-simmetrik	İstinad konfiqurasiyasının tarazlıq tənliyi
İkinci PK gərginliyi \(\boldsymbol{S}\)	İstinad konfiqurasiyası \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	İstinad konfiqurasiyası \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simmetrik	Total Lagrange üsulu və hiperelastiklik

Kütlə və impulsun qorunması qanunları və tarazlıq tənliyi¶

Cari konfiqurasiyada kütlə sıxlığı \(\rho\), istinad konfiqurasiyasında isə \(\rho_0\) olarsa, kütlənin qorunması qanunu \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) həcm elementinin çevrilməsi \(dv = J\, dV\) vasitəsilə lokal formaya

\[ \rho_0 = J \rho \]

reduksiya olunur.

Cisim qüvvəsini (vahid kütləyə görə) \(\boldsymbol{g}\), təcili \(\boldsymbol{a}\) götürüb impulsun qorunması qanununa (Euler-in birinci hərəkət qanunu) Cauchy gərginlik teoremini və Gauss-un divergensiya teoremini tətbiq etdikdə cari konfiqurasiyada lokal tarazlıq tənliyi (hərəkət tənliyi)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

alınır. Nanson düsturu və \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) vasitəsilə istinad konfiqurasiyasındakı inteqrala çevrildikdə istinad konfiqurasiyasındakı lokal forma

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

alınır. Hər iki forma gərginlik çevirmə qaydası və \(\rho_0 = J\rho\) sayəsində ekvivalentdir. Ətalət həddi nəzərə alınmadıqda

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

statik tarazlıq tənliyi alınır və bu, FrontISTR-in statik analizinin (xətti və qeyri-xətti) başlanğıc tənliyidir.

Bucaq impulsunun qorunması qanunu və gərginlik simmetriyası¶

Bucaq impulsunun qorunması qanunu (Euler-in ikinci hərəkət qanunu) impulsun qorunmasından alınan tarazlıq tənliyi ilə birləşdirildikdə Cauchy gərginlik tensorunun simmetriyası

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

çıxarılır və üçölçülü halda 6 müstəqil komponentdən ibarət olur. Çevirmə düsturu \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\)-nin hər iki tərəfinin transpozisiyasından və \(\boldsymbol{F}\)-in qeyri-singulyarlığından ikinci PK gərginliyinin də simmetrik olduğu

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

və 6 müstəqil komponentdən ibarət olduğu görünür. Digər tərəfdən, birinci PK gərginliyi \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ümumiyyətlə simmetrik deyil; yalnız \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) əlaqəsi (yəni \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\)-nin simmetrik olması) ödənir və 9 müstəqil komponenti vardır.

Bu simmetriyalar Voigt işarələməsində gərginliyin 6 komponentli vektora çevrilməsinin əsasını təşkil edir. Voigt işarələməsi qaydaları və material matrisinin quruluşu üçün Tensor işarələməsi və riyazi əsaslar və Xətti elastiklik bölmələrinə baxın.