Hərəkət, deformasiya və nisbi deformasiya¶

İstinad və cari konfiqurasiyalar¶

Konfiqurasiyaların tərifi¶

Fiziki kəmiyyətlərin təsviri üçün zaman üzrə hansı formanın əsas götürüldüyünü fərqləndirmək məqsədilə bu təlimatda iki konfiqurasiyadan istifadə olunur.

İstinad konfiqurasiyası: analizin başlanğıcındakı (vaxt \(0\)) deformasiyasız forma; buna başlanğıc konfiqurasiya da deyilir. İstinad konfiqurasiyasındakı nöqtə material koordinatı \(\boldsymbol{X}\) ilə, həcm \(V\) və səth \(S\) ilə göstərilir.
Cari konfiqurasiya: \(t\) anındakı deformasiyaya uğramış forma. Cari konfiqurasiyadakı nöqtə fəza koordinatı \(\boldsymbol{x}\) ilə, həcm \(v\) və səth \(s\) ilə göstərilir.

Hərəkət bu iki konfiqurasiya arasında \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) təsviri ilə ifadə olunur, yerdəyişmə isə \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) kimi təyin edilir.

Konfiqurasiyadan asılı işarələmə (böyük/kiçik hərf)¶

Simvolun böyük və ya kiçik hərflə yazılması fiziki kəmiyyətin hansı konfiqurasiyaya aid olduğunu fərqləndirir.

İstinad konfiqurasiyasına aid kəmiyyətlər böyük hərfli simvollarla yazılır (məsələn, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Cari konfiqurasiyaya aid kəmiyyətlər kiçik hərfli simvollarla yazılır (məsələn, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Birinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{P}\) kimi hər iki konfiqurasiyanı əlaqələndirən kəmiyyətlər üçün qəbul edilmiş işarələmədən istifadə olunur və lazım gəldikdə mətndə açıq şəkildə göstərilir.
Kiçik deformasiya nəzəriyyəsində iki konfiqurasiya arasındakı fərq aradan qalxdığından yalnız kiçik hərfli simvollardan (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) istifadə olunur.

İstinad və cari konfiqurasiya qradientləri¶

Fəza törəməsinin hansı konfiqurasiyaya görə götürülməsindən asılı olaraq işarələmə və məna fərqlənir.

İstinad konfiqurasiyası qradienti \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): material koordinatlarına görə qradient. Məsələn: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Cari konfiqurasiya qradienti \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): fəza koordinatlarına görə qradient. Məsələn: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Onlar \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) əlaqəsi ilə bağlıdır. Zaman törəmələri üçün qəbul edilmiş qayda (material zaman törəməsi \(\dot{(\cdot)}\)) barədə Tensor işarələməsi və riyazi əsaslar bölməsinə baxın.

Hərəkətin təsviri¶

Hərəkət təsviri və material/fəza təsvirləri¶

Kontinuum \(0\) anındakı mövqeləri \(\boldsymbol{X}\) ilə işarələnən material nöqtələrinin toplusu kimi qəbul edilərsə, hər bir \(\boldsymbol{X}\) material nöqtəsini \(t\) anındakı \(\boldsymbol{x}\) mövqeyi ilə əlaqələndirən \(\phi\) təsviri vasitəsilə hərəkət belə ifadə olunur:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

İstinad konfiqurasiyasının başlanğıc konfiqurasiya götürüldüyü qaydada \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) olur.

Müstəqil dəyişənlərin seçiminə görə iki təsvir fərqləndirilir.

Material təsviri (Lagrange təsviri): fiziki kəmiyyətləri \((\boldsymbol{X}, t)\) funksiyaları kimi ifadə edir. Bərk cisim mexanikasında istinad konfiqurasiyası sabit forma kimi verildiyindən bu təbii seçimdir.
Fəza təsviri (Euler təsviri): fiziki kəmiyyətləri \((\boldsymbol{x}, t)\) funksiyaları kimi ifadə edir. Maye mexanikasında standart təsvir budur.

FrontISTR konstruksiya analizi əsasən material təsvirinə əsaslanır, lakin Updated Lagrange üsulunda cari konfiqurasiya yeni istinad konfiqurasiyası kimi istifadə edildiyindən fəza təsvirindəki kəmiyyətlərdən də istifadə olunur.

Yerdəyişmə, sürət və təcil¶

Əvvəlki bölmədə göstərildiyi kimi, yerdəyişmə \(\boldsymbol{u}\), \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ilə təyin edilir. Onun böyüklüyü barədə heç bir fərziyyə qoyulmadığından sonlu deformasiya da əhatə olunur. Sürət və təcil vektorları material nöqtəsi sabit saxlanılmaqla \(\boldsymbol{u}\)-nun material zaman törəmələri kimi təyin edilir:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Bu tənliklər sürət və təcili təyin edir.

Deformasiya qradienti və deformasiya tensorları¶

Deformasiya qradienti tensoru¶

Sonlu deformasiya kontinuum mexanikasında əsas kəmiyyət deformasiya qradienti tensoru \(\boldsymbol{F}\)-dir. O, istinad konfiqurasiyasındakı sonsuz kiçik \(d\boldsymbol{X}\) xətt elementini cari konfiqurasiyadakı sonsuz kiçik \(d\boldsymbol{x}\) xətt elementinə çevirən xətti təsvirdir və hərəkət təsvirinin material koordinatlarına görə qradienti kimi təyin edilir:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Belə təyin edildikdə (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), deformasiyasız vəziyyətdə \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) olur. \(\boldsymbol{F}\) nisbi deformasiya və gərginliyin təyini, həmçinin fiziki kəmiyyətlərin konfiqurasiyalar arasında çevrilməsi üçün geniş istifadə olunur.

Həcm nisbəti¶

İstinad konfiqurasiyasındakı sonsuz kiçik \(dV\) həcminə uyğun cari konfiqurasiyadakı sonsuz kiçik \(dv\) həcminin nisbəti həcm nisbəti \(J\) adlanır:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kontinuumun çevrilə bilməsi üçün \(J > 0\) tələb olunur. Kütlənin saxlanması \(\rho_0 = J\rho\) kimi ifadə edilir.

Sağ və sol Cauchy-Green deformasiya tensorları¶

Deformasiya qradienti \(\boldsymbol{F}\) sərt cismin fırlanmasını da ehtiva etdiyindən deformasiyanın özünü ölçmək üçün sərt cismin fırlanması çıxarılmış kəmiyyətlərdən istifadə olunur. Sağ Cauchy-Green deformasiya tensoru \(\boldsymbol{C}\) (istinad konfiqurasiyası) və sol Cauchy-Green deformasiya tensoru \(\boldsymbol{b}\) (cari konfiqurasiya) belə təyin edilir:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Hər ikisi simmetrik tensordur və eyni məxsusi qiymətlərə (əsas uzanmaların kvadratlarına) malikdir. Hiperelastik deformasiya enerjisi funksiyalarının əsas invariantları bu tensorlarla ifadə olunur.

Nisbi deformasiya tensorları¶

Green-Lagrange nisbi deformasiya tensoru¶

İstinad konfiqurasiyasına aid nisbi deformasiya ölçüsü kimi Green-Lagrange nisbi deformasiya tensoru \(\boldsymbol{E}\) belə təyin edilir:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Bu, istinad konfiqurasiyasındakı sonsuz kiçik vektorların skalyar hasilinin dəyişməsini göstərən simmetrik tensordur, sərt cismin fırlanmasına görə invariantdır və deformasiyasız vəziyyətdə \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) şərtini ödəyir. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) istifadə edildikdə

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Bu ifadə nisbi deformasiyanı yerdəyişmə qradientinin birinci və ikinci tərtibli hədlərinin cəmi kimi göstərir; ikinci tərtibli hədd həndəsi qeyri-xəttiliyi ifadə edir. Total Lagrange üsulunda o, \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) iş-konjuqat cütü kimi istifadə olunur.

Almansi nisbi deformasiya tensoru¶

Cari konfiqurasiyaya aid nisbi deformasiya ölçüsü kimi Almansi nisbi deformasiya tensoru \(\boldsymbol{e}\) belə təyin edilir:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

O, Green-Lagrange nisbi deformasiyası ilə \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (geri çəkmə) əlaqəsinə malikdir.

Sonsuz kiçik nisbi deformasiya tensoru¶

Yerdəyişmə qradienti kiçik olduqda (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange nisbi deformasiyasının ikinci tərtibli həddi nəzərə alınmaya bilər. Bu halda iki konfiqurasiya arasındakı fərq aradan qalxdığı üçün o, qradienti fəza koordinatlarında yazılan sonsuz kiçik nisbi deformasiya tensoruna \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gətirilir:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR bu nisbi deformasiya ölçüsündən xətti statik analiz, modal analiz, tezlik cavabı analizi və xətti dinamik analiz üçün istifadə edir. Sonlu deformasiya analizində Total Lagrange üsulunda \(\boldsymbol{E}\), Updated Lagrange üsulunda isə cari konfiqurasiyaya aid deformasiya sürəti tensoru \(\boldsymbol{D}\) istifadə olunur.