Qabaqcıl element formulaları¶

3D bərk cisim elementlərinin formulalaşdırılması bölməsində təqdim olunan standart yerdəyişmə əsaslı formulalaşdırma, demək olar ki, sıxılmayan materiallara və ya əyilmənin üstünlük təşkil etdiyi nazikdivarlı konstruksiyalara tətbiq edildikdə locking (həcmi locking və ya kəsilmə locking-i) adlanan həddindən artıq süni sərtlik yaradır. Bunun qarşısını almaq üçün FrontISTR yalnız B matrisinin və ya deformasiya qradiyentinin həcmi hissəsini əvəz edən B-bar və F-bar üsullarını; daxili sərbəstlik dərəcələri olan uyğunsuz elementləri; təzyiqi müstəqil naməlum sahə kimi qəbul edən u-p qarışıq elementləri; həmçinin lövhə və tir konstruksiyaları üçün ixtisaslaşdırılmış MITC qabıq və tir elementlərini təqdim edir.

Bu fəsildə həmin qabaqcıl və konstruktiv elementlərin formulaları elementlər üzrə ümumiləşdirilir.

B-bar üsulu¶

8 düyünlü xətti heksaedr element demək olar ki, sıxılmayan material üçün istifadə edildikdə, bir element daxilində deformasiya sahəsi sabit həcm məhdudiyyəti ilə ziddiyyət təşkil edə və həcmi locking adlanan həddindən artıq sərtlik yarada bilər. B-bar üsulu B matrisinin həcmi genişlənməyə töhfə verən komponentlərini element mərkəzində hesablanan qiymətlərlə əvəz etməklə bu artıq məhdudiyyəti zəiflədir [Hughes1980].

Element mərkəzində \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) forma funksiyalarının məkan törəmələrindən hesablanan B matrisi \(\bar{\boldsymbol{B}}\), \(\boldsymbol{r}\) inteqrasiya nöqtəsindəki adi B matrisi isə \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) olsun. \(\alpha\) düyünü və \(i\) sərbəstlik dərəcəsi üçün yerdəyişmə-deformasiya münasibətində həcmi deformasiya komponentləri \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) aşağıdakı kəmiyyət əlavə edilməklə dəyişdirilir

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Kəsilmə komponentləri \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) üçün adi \(\boldsymbol{B}\) istifadə olunur. Element sərtliyi və daxili qüvvə vektoru alınan B-bar matrisi ilə yığılır.

FrontISTR bu formulalaşdırmanı xüsusi olaraq 8 düyünlü xətti heksaedr element (element ID-si 361; Element nömrələmə sistemi bölməsinə baxın) üçün təqdim edir və o, kiçik deformasiya, Total Lagrange və Updated Lagrange formulalarına tətbiq edilə bilər.

F-bar üsulu¶

Sonlu deformasiya zamanı həcmi dəyişmə deformasiya qradiyenti \(\boldsymbol{F}\) vasitəsilə qeyri-xətti şəkildə daxil olur. F-bar üsulu [deSouzaNeto1996] deformasiya qradiyenti səviyyəsində B-bar üsuluna analoji həcmi locking emalı tətbiq edir.

Element mərkəzində \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) qiymətləndirilmiş deformasiya qradiyentinin həcm nisbəti \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), inteqrasiya nöqtəsindəki həcm nisbəti isə \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) olsun. İntegrasiya nöqtəsində deformasiya qradiyenti aşağıdakı ilə əvəz edilir

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Beləliklə, \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) alınır və bütün element boyunca həcm nisbəti element mərkəzindəki qiymətlə uyğunlaşdırılır. Əvəz edilmiş \(\bar{\boldsymbol{F}}\) gərginliyin qiymətləndirilməsi və deformasiya-yerdəyişmə matrisinin qurulması üçün istifadə olunur; elementin toxunan sərtliyinə də bu əvəzetmə ilə bağlı əlavə hədlər daxil edilir.

FrontISTR F-bar üsulunu xüsusi olaraq 8 düyünlü xətti heksaedr element üçün reallaşdırır və o, həm kiçik deformasiya, həm də Total Lagrange / Updated Lagrange qeyri-xətti həndəsə üçün tətbiq edilə bilər.

Uyğunsuz elementlər¶

8 düyünlü xətti heksaedr element əyilmə üçün tələb olunan deformasiya modlarına malik deyil və əyilmənin üstünlük təşkil etdiyi məsələlərdə əyilmə locking-i göstərir. Uyğunsuz elementlər [Taylor1976] bu çatışmazlığı kompensasiya etmək üçün element daxilinə əlavə yerdəyişmə modları daxil edir.

Elementin düyün yerdəyişmələri \(\boldsymbol{u}^e\) ilə yanaşı, yalnız element daxilində mövcud olan uyğunsuz-mod sərbəstlik dərəcələri \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) hər element üçün 3 istiqamət × 3 mod kimi daxil edilir və yerdəyişmə sahəsi aşağıdakı kimi yaxınlaşdırılır

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Təbii koordinatlar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) üçün uyğunsuz forma funksiyaları \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) və \(M_3 = 1 - \zeta^2\) kimi götürülür. Onlar element sərhədləri boyunca fasiləsizliyə zəmanət vermir, lakin əyilmə modları ilə əlaqəli deformasiyaları təkrar yarada bilən daxili fəza əlavə edir.

Element sərtliyi əvvəlcə xarici DOF/daxili DOF blok şəklində yığılır

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Bu formada yığıldıqdan sonra statik kondensasiya daxili sərbəstlik dərəcələrini \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) ilə aradan qaldırır və yalnız xarici sərbəstlik dərəcələrini ehtiva edən element sərtliyini verir

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

və bu sərtlik qlobal yığıma ötürülür.

FrontISTR uyğunsuz elementi xüsusi olaraq 8 düyünlü xətti heksaedr element (C3D8IC) üçün reallaşdırır və o, kiçik deformasiya, Total Lagrange və Updated Lagrange formulalarına tətbiq edilə bilər.

U-P qarışıq elementlər¶

B-bar və F-bar üsulları yerdəyişmə əsaslı çərçivədə həcmi komponenti düzəltdiyi halda, u-p qarışıq (U-P) element təzyiq \(\lambda\)-nı yerdəyişmədən asılı olmayan naməlum sahə kimi daxil edən qarışıq formulalaşdırmadan [Bathe1996] istifadə edir. Puasson əmsalı 0.5-ə son dərəcə yaxın olan rezinəbənzər materiallar və ya plastik deformasiyadan sonrakı metallar kimi demək olar ki, sıxılmayan materiallarda sabit həcm məhdudiyyətinin yalnız yerdəyişmə sahəsi ilə təmin edilməsi həcmi locking yaradır; təzyiqin müstəqil dəyişən kimi götürülməsi bu məhdudiyyəti yumşaldır.

Gərginlik deviator və təzyiq komponentlərinə aşağıdakı kimi ayrılır

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Burada \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) elastiklik matrisindən həcm modulu \(K\) ilə mütənasib həcmi hissəni çıxarmaqla alınan deviator elastiklik matrisidir. Təzyiq \(\lambda\) və həcmi deformasiya \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sıxılma qabiliyyəti \(\alpha^{-1} = 1/K\) vasitəsilə məhdudiyyətlə əlaqələndirilir

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Yerdəyişmə \(\boldsymbol{u}\) və təzyiq \(\lambda\) naməlumlar kimi diskretləşdirildikdə elementin əlaqəli sistemi alınır

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

burada \(\mathbf{K}_{uu}\) deviator elastiklik töhfəsini və sonlu deformasiya üçün həndəsi sərtliyi ehtiva edir; \(\mathbf{K}_{up}\) həcmi deformasiya ilə təzyiqi əlaqələndirir; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) isə təzyiq sabitləşdirmə həddidir (\(\boldsymbol{N}_p\) təzyiq forma funksiyasıdır). Təzyiq sərbəstlik dərəcələri element daxilində olduğundan,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

bu formada statik kondensasiya aparılır və yalnız xarici (yerdəyişmə) sərbəstlik dərəcələrini ehtiva edən effektiv sərtlik qlobal yığıma ötürülür.

FrontISTR U-P elementini xüsusi olaraq 8 düyünlü xətti heksaedr element üçün, hər elementə bir təzyiq sərbəstlik dərəcəsi (element daxilində sabit) ilə reallaşdırır. O, kiçik deformasiya, Total Lagrange və Updated Lagrange formulalarına tətbiq edilə bilər. Updated Lagrange-də deviator gərginlik obyektiv gərginlik sürəti (Jaumann/Hughes-Winget tipi) ilə yenilənir və sonra təzyiq \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) statik kondensasiyadan alınan qiymətlə tətbiq edilir.

Qabıq elementləri¶

Reissner-Mindlin lövhə/qabıq nəzəriyyəsinə əsaslanan qabıq elementləri nazikdivarlı lövhə və qabıq konstruksiyaları üçün istifadə olunur. Qalınlıq azaldıqca, aşağı tərtibli yerdəyişmə əsaslı lövhə/qabıq elementləri həcmi locking-ə analoji mexanizmlə eninə kəsilmə deformasiyasını həddindən artıq qiymətləndirir (kəsilmə locking-i) və əyilmə modları üçün sərtliyin həddindən artıq artmasına səbəb olur. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) üsulu [Dvorkin1984] [Bathe1986] yalnız kəsilmə deformasiya komponentlərini element daxilində əvvəlcədən müəyyən edilmiş tying nöqtələrində yenidən nümunələyib həmin qiymətləri element boyunca interpolasiya etməklə bu problemdən yayınır.

MITC qabıq elementinin düyünləri orta səthdə yerləşir və hər düyünün altı sərbəstlik dərəcəsi var: üç translasiya komponenti və orta səthin normal koordinat sisteminə görə üç fırlanma komponenti. Element sərtliyi orta səthin təbii koordinatları və qalınlıq istiqaməti üzrə üçölçülü Qauss inteqrasiyası ilə qiymətləndirilir və qalınlıq \(h\) konstitutiv qiymətləndirmə zamanı element xassəsi kimi verilir.

FrontISTR bir orta səth qatı ilə təmsil olunan MITC3 (element ID-si 731), MITC4 (741) və MITC9 (743), həmçinin düyünləri qalınlıq boyunca iki qatda yerləşən laylı qabıq elementləri MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 düyün, hər düyünə 3 DOF) və MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 düyün, hər düyünə 3 DOF) təqdim edir. Laylı qabıq elementlərində düyün sərbəstlik dərəcələri yalnız üç translasiya komponentindən ibarətdir, fırlanma sərbəstlik dərəcələrinə uyğun əyilmə modları isə ikiqat yerləşmə ilə ifadə olunur.

Tir elementləri¶

Ferma və çərçivə konstruksiyaları kimi xətti üzvlər tir elementləri ilə diskretləşdirilir. FrontISTR kəsilmə deformasiyasını nəzərə alan və həm əyilməni, həm də kəsilməni translasiya və fırlanma sərbəstlik dərəcələrinin funksiyaları kimi ifadə edən Timoshenko tir formulalaşdırmasından istifadə edir.

Hər tir düyününün altı sərbəstlik dərəcəsi var: üç translasiya komponenti və tir oxu ilə eninə oxlar ətrafında üç fırlanma komponenti. Element sərtliyi tir oxu boyunca birölçülü ədədi inteqrasiya ilə qiymətləndirilir. Kəsiyin sahəsi \(A\) və əyilmə və burulma istiqamətlərində sahənin ikinci momentləri \(I\) tir kəsiyi xassələri kimi verilir və materialın Yunq modulu \(E\) və kəsilmə modulu \(G\) ilə birlikdə oxboyu, əyilmə, burulma və kəsilmə sərtliklərini müəyyən edir.

FrontISTR 2 düyünlü düz tir elementi (element ID-si 611) və 3 düyünlə təmsil olunan 4 düyünlü tetraedrik bərk cisim-tir hibrid elementi (641, qarışıq sərbəstlik dərəcələri üçün) təqdim edir.

Əlaqəli mövzular¶

3D bərk cisim elementlərinin formulalaşdırılması — standart formulalaşdırma ilə müqayisə
Element nömrələmə sistemi və forma funksiyaları kitabxanası — element tipi ID-ləri
Element kitabxanası (Funksiyalar) — hər elementin seçilməsi üzrə göstərişlər