Məzmuna keç

3D solid elementlər üçün forma funksiyaları

Bu fəsildə Forma funksiyaları və sonlu element approksimasiyası bölməsində təqdim edilən \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) forma funksiyalarının FrontISTR-in kontinuum analizində istifadə etdiyi üçölçülü solid elementlər üçün təbii koordinat sistemləri və açıq formaları ümumiləşdirilir. Altı element növü birinci/ikinci dərəcəli tetrahedrlər (341/342), birinci/ikinci dərəcəli üçbucaqlı prizmalar (351/352) və birinci/ikinci dərəcəli heksahedrlərdir (361/362). HEC-MW tor formatında düyün sırası və səth nömrələri üçün funksiyalar arayışındakı Element kitabxanasına baxın.

Bu forma funksiyalarından və Yakobian determinantından element inteqrasiyasının qurulması Ədədi inteqrasiya bölməsində təsvir olunan qaydaya uyğundur. 361 üçün B-bar, F-bar və uyğunsuz formulyasiyalar, həmçinin tir və qabıq elementlərinin forma funksiyaları Təkmilləşdirilmiş element formulyasiyaları bölməsində verilir.

Təbii koordinat sistemləri və daxili düyün sırası

Forma funksiyaları hər elementin təbii koordinatları \(\boldsymbol{r}\) üzərində təyin olunur. Üçölçülü solid elementlər element formasına görə aşağıdakı üç təbii koordinat sistemindən istifadə edir.

  • Heksahedrlər (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetrahedrlər (341/342): həcm koordinatları \((L_1, L_2, L_3, L_4)\); \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) və \(L_i \ge 0\). \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) müstəqil dəyişənlər kimi götürüldükdə \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Üçbucaqlı prizmalar (351/352): əsas üçbucağın həcm koordinatları \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) ox istiqaməti koordinatı \(\zeta \in [-1, 1]\) ilə birləşdirilərək \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) qurulur. Köməkçi \(a = 1 - \xi - \eta\) kəmiyyəti əsas üzərində üçüncü həcm koordinatı kimi istifadə olunur.

Birinci dərəcəli elementlərdə element düyünlərinin nömrələnməsi HEC-MW giriş formatında və daxili formatda eynidir. İkinci dərəcəli elementlərdə isə orta tərəf düyünlərinin sıralanma qaydaları fərqlənir. FrontISTR giriş kimi HEC-MW formatını qəbul edir (künc düyünləri element ətrafında sıralanır, sonra orta tərəf düyünləri 1-2, 2-3, … kənar sırası ilə verilir), element kitabxanasındakı forma funksiyaları isə başqa düyün sırasını nəzərdə tutaraq reallaşdırılıb.

Bu iki format arasındakı fərq tor daxil edildikdən dərhal sonra çağırılan hecmw2fstr_mesh_conv tərəfindən hər elementin düyünlərini yenidən sıralamaqla aradan qaldırılır. Üçölçülü solid elementlər arasında aşağıdakı iki növ çevrilir.

Element növü Çevirmə cədvəli Təsvir
342 (ikinci dərəcəli tetrahedr) Table342 10 düyünü \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) sırasına gətirir
352 (ikinci dərəcəli üçbucaqlı prizma) Table352 15 düyünü \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) sırasına gətirir

Yenidən sıralama element əlaqəliliyini saxlayan massiv üzərində birbaşa aparıldığı üçün element kitabxanasına sonrakı bütün çağırışlar FrontISTR-in daxili düyün sırasından istifadə edir. İkinci dərəcəli heksahedral element 362 üçün çevirmə cədvəli yoxdur, çünki HEC-MW girişində və FrontISTR daxili formatında orta tərəf düyünlərinin sırası eynidir. Nəticə çıxışında əks çevirmə fstr2hecmw_mesh_conv yazmadan əvvəl HEC-MW düyün sırasını bərpa edir; buna görə istifadəçi həm girişdə, həm də çıxışda yalnız HEC-MW formatını nəzərə almalıdır. Aşağıdakı forma funksiyalarındakı düyün nömrələri çevrilmiş FrontISTR daxili formatına uyğundur.

Birinci dərəcəli elementlər üçün forma funksiyaları

Birinci dərəcəli tetrahedral element (341) üçün forma funksiyaları həcm koordinatlarının özüdür:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Birinci dərəcəli üçbucaqlı prizma elementi (351) üçün forma funksiyaları əsas üçbucağın xətti forma funksiyalarının (\(a, \xi, \eta\)) və ox istiqamətində xətti forma funksiyalarının (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) hasilidir:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Birinci dərəcəli heksahedral element (361) üçün forma funksiyaları üç koordinat istiqamətində xətti forma funksiyalarının tenzor hasilidir:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Burada \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) düyün \(\alpha\)-nın təbii koordinat qiymətləridir (hər komponent \(\pm 1\)-dir).

İkinci dərəcəli elementlər üçün forma funksiyaları

İkinci dərəcəli tetrahedral element (342) üçün forma funksiyaları dörd künc düyünü və altı orta tərəf düyününə bölünür:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

5–10 orta tərəf düyünləri müvafiq olaraq 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 və 3-4 kənarlarının orta nöqtələrinə uyğun gəlir.

İkinci dərəcəli üçbucaqlı prizma elementi (352) altı künc düyünündən, üçbucaqlı üzlərdə altı orta tərəf düyünündən və ox istiqamətindəki kənarlarda üç orta düyündən ibarətdir:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

7–9 orta tərəf düyünləri aşağı üçbucağın (\(\zeta = -1\)) kənarlarının orta nöqtələrinə, 10–12 düyünləri yuxarı üçbucağın (\(\zeta = +1\)) kənarlarının orta nöqtələrinə, 13–15 düyünləri isə ox istiqamətindəki kənarların orta nöqtələrinə uyğun gəlir.

İkinci dərəcəli heksahedral element (362) Serendipity ailəsinə aid 20 düyünlü elementdir. Düyün \(\alpha\)-nın təbii koordinat qiymətləri \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) olsun. Künc düyünləri üçün (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), hər komponent \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Orta tərəf düyünləri üçün (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), üç təbii koordinatdan biri \(0\), digər ikisi isə \(\pm 1\) olduqda), \(\xi_\alpha = 0\) olan düyünlərdə (\(\xi\) istiqamətli kənarlar) aşağıdakı ifadə alınır:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Kənar istiqaməti \(\eta\) və ya \(\zeta\) oxu olan orta tərəf düyünləri analoji qaydada, müvafiq təbii koordinatın kvadrat hədlə çıxarılması ilə verilir.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status