Ədədi inteqrasiya¶

Daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi və Xarici qüvvələrin virtual işi və qlobal tənliklərin yığılması bölmələrində alınan element daxili qüvvə vektorları \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) və element sərtlik matrisi \(\boldsymbol{K}^e\) element sahəsi \(\Omega^e\) və ya \(\Omega^e_0\) üzərində inteqral formasındadır. FrontISTR bunları Gauss kvadraturası ilə ədədi qiymətləndirir.

Gauss kvadraturası və dəyişənlərin əvəzlənməsi¶

Gauss kvadraturası istinad sahəsi \(\Xi\) üzərində inteqralı inteqrasiya nöqtələri \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)-də inteqralaltı funksiyanın qiymətləri və \(w_i\) çəkilərinin xətti cəmi ilə yaxınlaşdırır. Element sahəsi \(\Omega^e\) üçün tətbiq \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) xəritələnməsi ilə dəyişənlərin əvəzlənməsini tələb edir və

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kimi yazılır. Burada \(n_q\) inteqrasiya nöqtələrinin sayı, \(J_{\xi_i}\) isə çevirmə Yakobianının determinantıdır. İstinad sahəsi \(\Xi\) hər element növü üçün təyin olunur (heksahedr üçün \([-1,1]^3\), üçbucaq, tetrahedr və paz üçün müvafiq istinad formaları), inteqrasiya nöqtələri \(\boldsymbol{\xi}_i\) və çəkilər \(w_i\) isə ədədi cədvəllər şəklində verilir. Səth inteqralları da element səthini ikiölçülü istinad sahəsindən xəritələməklə eyni formada işlənir.

FrontISTR tərəfindən istifadə olunan tipik inteqrasiya nöqtələrinin sayı aşağıda göstərilir (element növləri ilə uyğunluq üçün Element nömrələmə sistemi və forma funksiyaları kitabxanasına baxın).

Element növü	Kvadratura qaydası	İnteqrasiya nöqtələrinin sayı
4 düyünlü tetrahedr (`tet4n`)	1 nöqtəli qayda	1
10 düyünlü tetrahedr (`tet10n`)	4 nöqtəli qayda	4
6 düyünlü üçbucaqlı prizma (`prism6n`)	2 nöqtəli qayda	2
15 düyünlü üçbucaqlı prizma (`prism15n`)	9 nöqtəli qayda	9
8 düyünlü heksahedr (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 düyünlü heksahedr (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 düyünlü dördbucaqlı (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8 düyünlü dördbucaqlı (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3 düyünlü üçbucaq (`tri3n`)	1 nöqtəli qayda	1
6 düyünlü üçbucaq (`tri6n`)	3 nöqtəli qayda	3

Heksahedral, dördbucaqlı və xətti elementlərdə hər koordinat istiqamətində Gauss-Legendre qaydasının tenzor hasili istifadə olunur. Üçbucaqlar, tetrahedrlər və üçbucaqlı prizmalar simpleks tipli həndəsəyə uyğun xüsusi qaydalardan (üçbucağın özündə polinomları dəqiq inteqrasiya edən nöqtə yerləşmələri) istifadə edir.

Element inteqrasiyasına tətbiq¶

Element inteqrasiyasında təbii koordinatlar \(\boldsymbol{r}\) istinad sahəsinin koordinatları kimi istifadə olunur (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), fiziki koordinatlara xəritələmə isə forma funksiyaları ilə düyün koordinatlarının interpolyasiyası ilə verilir. İstinad konfiqurasiyasının seçiminə (Artımlı analizin çərçivəsi) uyğun olaraq aşağıdakı formulyasiyalar istifadə edilir.

Total Lagrange üsulu (istinad konfiqurasiyası \(\Omega^e_0\) üzərində inteqrasiya): xəritələmə və Yakobian

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

kimi verilir və element daxili qüvvəsi və sərtlik matrisi

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

kimi yaxınlaşdırılır. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) hamısı inteqrasiya nöqtəsi \(\boldsymbol{r}_i\)-də qiymətləndirilir.

Updated Lagrange üsulu (cari konfiqurasiya \(\Omega^e\) üzərində inteqrasiya): xəritələmə və Yakobian

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

kimi verilir və

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

yaxınlaşmaları istifadə olunur.

İki formulyasiya arasındakı yeganə fərq xəritələməyə verilən düyün koordinatlarının \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) və ya \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) olmasıdır; inteqrasiya nöqtələri, çəkilər və inteqrasiya nöqtəsi dövrünün strukturu eynidir.

Tam inteqrasiya və azaldılmış inteqrasiya¶

İnteqralaltı funksiyanın polinom dərəcəsini dəqiq inteqrasiya etmək üçün kifayət qədər inteqrasiya nöqtəsi istifadə edən inteqrasiya tam inteqrasiya, bundan bir səviyyə az inteqrasiya nöqtəsi istifadə edən inteqrasiya isə azaldılmış inteqrasiya adlanır. Azaldılmış inteqrasiya sürüşmə və həcm kilidlənməsini azaltmaq üçün istifadə olunur, lakin hourglass modları kimi saxta deformasiya modlarının emalını tələb edir. Hər element növü üçün inteqrasiya nöqtələrinin sayı və tam/azaldılmış inteqrasiya seçimi Element nömrələmə sistemi və forma funksiyaları kitabxanasında və sonrakı bölmələrdə, həmçinin Təkmilləşdirilmiş element formulyasiyalarında təsvir edilir.

Əlaqəli mövzular¶

Forma funksiyalarının fəza törəmələri — Yakobianın hesablanması
Daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi — ədədi inteqrasiyanın tətbiq olunduğu kəmiyyətlər
Təkmilləşdirilmiş element formulyasiyaları — azaldılmış inteqrasiyanın istifadəsi