Məzmuna keç

Xarici qüvvələrin virtual işi və qlobal tənliklərin yığılması

Daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi bölməsində zəif formanın sol tərəfi elementin daxili qüvvə vektoru \(\boldsymbol{q}^e\) (UL üsulu) və ya \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL üsulu) şəklində ümumiləşdirilmişdir. Bu fəsildə xarici qüvvələrin virtual işindən element düyün xarici qüvvə vektoru \(\boldsymbol{F}^e\) daxil edilir, sonra element düyün fiziki kəmiyyətlərini qlobal düyün nömrələrinə görə yenidən sıralayıb cəmləyən yığma əməliyyatı tətbiq olunur və nəticədə FrontISTR-in qeyri-xətti konstruksiya analizində həll etdiyi düyün yerdəyişmələrinə aid qeyri-xətti tənliklər sistemi əldə edilir.

Xarici qüvvələrin virtual işinin elementlərə ayrılması

Virtual iş prinsipi bölməsinin sağ tərəfi həcm qüvvələrindən (cisim qüvvələrindən) və mexaniki sərhəddə verilmiş səthi qüvvələrdən ibarət xarici qüvvələrin virtual işi kimi elementlər üzrə ayrıla bilər. Forma funksiyaları və sonlu element yaxınlaşdırması bölməsində daxil edilmiş yerdəyişmə interpolasiyasını matris şəklində yazmaq üçün düyün \(\alpha\)-nın forma funksiyası \(N_\alpha^e\) diaqonalda yerləşdirilmiş \(d \times d\) blok \(\boldsymbol{N}_\alpha\) və bu blokların üfüqi birləşdirilməsindən alınan \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) istifadə edilərək \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) yazılır. Bunu istinad konfiqurasiyasında yazılmış xarici qüvvələrin virtual işinə əvəz etdikdə

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

alınır. Burada element düyün xarici qüvvə vektoru \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) şəklində düzülür. Beləliklə, xarici qüvvələrin virtual işi daxili qüvvələr tərəfində olduğu kimi “element düyün vektoru × sınaq funksiyası” formasında ümumiləşdirilə bilər (cari konfiqurasiyada yazıldıqda da \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) əvəzləmələri ilə eyni forma alınır).

Element düyün kəmiyyətlərinin yığılması

Hər element üçün alınmış düyün kəmiyyətləri \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) qlobal düyün nömrəsinə görə sıralanmış qlobal vektorlarda cəmlənir. \(\Omega^e\) elementinin lokal düyün nömrəsi \(\alpha\)-ya uyğun qlobal düyün nömrəsini

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

kimi ifadə etdikdə, element düyün kəmiyyəti qlobal düyün kəmiyyətinin uyğun komponenti ilə eynidir (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) və s.). Ümumiyyətlə, \(i_g\) düyünü bir neçə element tərəfindən paylaşılır. Buna görə qlobal düyün nömrəsi \(i_g\) olan \((e, \alpha)\) cütlərini toplayan

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

çoxluğundan istifadə edib cəmi \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) şəklində yenidən yazdıqda, bütün \(n_g\) düyünləri üzrə düyün daxili qüvvəsi və qlobal daxili qüvvə vektoru

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

alınır. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) \(i_g\) düyünündə təsir edən element düyün daxili qüvvələrinin nəticə qüvvəsinə uyğundur və xarici qüvvə təsir etmədikdə və tarazlıq təmin olunduqda \(\boldsymbol{0}\) olur. UL üsulunda da eyni prosedurla \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) alınır; qiymət baxımından \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) olduğuna görə, fərqləndirmənin zəruri olduğu hallar istisna olmaqla bundan sonra \(\boldsymbol{Q}\) işarəsi istifadə edilir. Qlobal xarici qüvvə vektoru \(\boldsymbol{F}\) də eyni cəmləmə ilə alınır.

İcra zamanı \(\mathcal{E}(i_g)\) çoxluğu açıq şəkildə yaradılmır; əvəzində element dövrü daxilində uyğun komponentlərə əlavə edilir.

Qlobal daxili qüvvə vektoru Q-nu 0-a ilkinləşdir: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementlərin sayı)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Qlobal xarici qüvvə vektoru \(\boldsymbol{F}\) də eyni prosedurla qurulur. Element düyün kəmiyyətlərinin qlobal düyün nömrələri ilə nömrələnmiş vektor və matrislərin uyğun komponentlərinə əlavə edilərək saxlanması əməliyyatına yığma (assemble) deyilir. İki düyün nömrəsinə aid ikinci tərtib tenzorlar (məsələn, sərtlik matrisləri) üçün \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) çoxluğundan istifadə etməklə eyni tipli yığma əməliyyatı əldə edilir (konkret quruluş üçün toxunan sərtlik matrisi bölməsinə baxın).

Həll edilməli qeyri-xətti tənliklər

Daxili və xarici qüvvələrin yığılmış nəticələrini virtual iş prinsipinə əvəz edib, həndəsi sərhəd şərtlərini ödəyən ixtiyari sınaq funksiyası \(\delta\boldsymbol{u}^n\) üçün bunun doğru olmasından

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

alınır. Artımlı analiz (artımlı analiz çərçivəsi) kontekstində zaman indeksi \(_{n+1}\) yenidən daxil edilir və qlobal düyün vektorunu göstərən yuxarı indeks \(^n\) buraxılırsa, həll edilməli tənlik

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

olur. \(t_{n+1}\) zamanında düyün yerdəyişməsi \(\boldsymbol{u}_{n+1}\)-i tapmaq üçün diskretləşdirilmiş sərhəd qiymət məsələsi bu yerdəyişməyə görə qeyri-xətti tənliyi həndəsi sərhəd şərtləri ilə birlikdə həll etməyə gətirilir. Tənliyin xəttiləşdirilməsi və toxunan sərtlik matrisinin qurulması toxunan sərtlik matrisi, iterativ həll üsulu isə Nyuton-Rafson üsulu bölməsində təsvir edilir.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status