Daxili qüvvələrin virtual işinin diskretləşdirilməsi¶

Artımlı analiz çərçivəsi bölməsində göstərilən \(t + \Delta t\) zamanındakı virtual iş tənliyi istinad konfiqurasiyasının seçilməsindən asılı olaraq Updated Lagrange və Total Lagrange olmaqla iki formaya ayrılır. Bu fəsildə forma funksiyaları və sonlu element yaxınlaşdırması və forma funksiyalarının fəza törəmələri bölmələrində daxil edilmiş sonlu element yaxınlaşdırmasından istifadə etməklə hər iki formulasiya üçün daxili qüvvələrin virtual işi fəzada diskretləşdirilir və element daxili qüvvə vektorları \(\boldsymbol{q}^e\) (UL üsulu) və \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL üsulu) əldə edilir.

\(e\) elementinin tərkib düyünləri \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) üçün yerdəyişmələri \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) kimi işarə edək və element düyün yerdəyişmə vektorunu \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) şəklində düzək. Virtual yerdəyişmə \(\delta \boldsymbol{u}^e\) də eyni ardıcıllıqla təyin edilir. Element daxilində yerdəyişmə forma funksiyaları ilə \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) şəklində interpolasiya edilir.

Updated Lagrange üsulunda daxili qüvvələrin virtual işi¶

Updated Lagrange üsulunda \(t\) zamanındakı cari konfiqurasiya \({}^{t}\Omega\) istinad konfiqurasiyası kimi qəbul edilir və Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\) ilə Almansi deformasiyasının xətti hissəsi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) vasitəsilə daxili qüvvələrin virtual işi

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

şəklində yazılır. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-in hər bir komponenti cari konfiqurasiya koordinatları \(\boldsymbol{x}\) üzrə forma funksiyası törəmələri \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) və düyün virtual yerdəyişmələri \(\delta u^e_{i\alpha}\)-nın xətti kombinasiyası kimi ifadə edilə bilər və Voigt yazılışında

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

şəklində ümumiləşdirilir. Düyün bloku \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) törəmələrinin Voigt qaydasına uyğun yerləşdirildiyi \(6 \times 3\) matrisdir və \(\boldsymbol{B}_L\) UL üsulunun deformasiya-yerdəyişmə matrisi olur. Bunu daxili qüvvələrin virtual işinə əvəz edib \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-ni ayırdıqda

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

alınır. \(\boldsymbol{q}^e\) vektorunun düyün bloku \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\Omega^e\) elementinin tərkib düyünü \(\alpha\)-ya təsir edən daxili qüvvədir.

Total Lagrange üsulunda daxili qüvvələrin virtual işi¶

Total Lagrange üsulunda ilkin konfiqurasiya \(\Omega_0\) istinad konfiqurasiyası kimi götürülür və ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{S}\) ilə Green-Lagrange deformasiyası \(\boldsymbol{E}\) vasitəsilə

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

şəklində yazılır. \(\delta \boldsymbol{E}\) virtual yerdəyişməyə görə xətti hissəyə və cari yerdəyişmə qradiyenti \(\partial u_k/\partial X_j\) ilə hasilləri ehtiva edən qeyri-xətti hissəyə ayrılır:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Xətti hissə UL üsulundakı eyni yerləşdirmə qaydasını \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-yə tətbiq etməklə alınan düyün bloku \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) vasitəsilə

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

kimi yazılır (istinad konfiqurasiyasının fərqinə görə yalnız tərkib törəmələri \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-dən \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-yə dəyişir; işarə UL üsulu ilə eyni saxlanılır). Qeyri-xətti hissə cari yerdəyişmə qradiyenti \(\partial u_k/\partial X_j\) ilə \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) hasilinin Voigt qaydasına uyğun yerləşdirildiyi düyün bloku \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) vasitəsilə

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

kimi yazılır. Beləliklə, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) olur və \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL üsulunun deformasiya-yerdəyişmə matrisidir. Bunu daxili qüvvələrin virtual işinə əvəz etdikdə

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

alınır. Düyün bloku \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) \(\Omega^e_0\) elementinin tərkib düyünü \(\alpha\)-ya təsir edən daxili qüvvədir.

UL/TL uyğunluğu və hesablama axını¶

Updated Lagrange və Total Lagrange üsullarında element daxili qüvvə vektorları aşağıdakı uyğunluğa malikdir.

Maddə	Updated Lagrange üsulu	Total Lagrange üsulu
İstinad konfiqurasiyası	Cari konfiqurasiya \({}^{t}\Omega^e\)	İlkin konfiqurasiya \(\Omega^e_0\)
Gərginlik tenzoru	Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\)	İkinci PK gərginliyi \(\boldsymbol{S}\)
Deformasiya variasiyası	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B matrisi	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Element daxili qüvvəsi	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Hər iki halda eyni prosedur tətbiq oluna bilər: forma funksiyalarının fəza törəmələrindən \(\boldsymbol{B}_L\) qurulur; TL üsulunda cari yerdəyişmə qradiyentindən \(\boldsymbol{B}_{NL}\) qurulub əlavə edilir; gərginlik (\(\boldsymbol{\sigma}\) və ya \(\boldsymbol{S}\)) konstitutiv qanuna uyğun yenilənir; inteqrasiya nöqtələrində \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) və ya \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) element sahəsi üzrə ədədi inteqrasiya edilir (ədədi inteqrasiya). İstinad konfiqurasiyasının dəyişdirilməsi (düyün koordinatları və \(\boldsymbol{B}\) matrisinin qurulması) və gərginlik tenzorunun əvəzlənməsi istisna olmaqla emal ortaqdır; buna görə FrontISTR-də hər iki üsul üçün daxili qüvvə hesablamaları ümumi altproqramlarla həyata keçirilir. Element daxili qüvvə vektorları \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\)-dən qlobal daxili qüvvə vektoruna yığma xarici qüvvələrin virtual işi və qlobal tənliklərin yığılması bölməsində izah edilir.

Əlaqəli mövzular¶

Virtual iş prinsipi — Başlanğıc tənliyi
Artımlı analiz çərçivəsi — TL/UL şaxələrinin təyini
Forma funksiyalarının fəza törəmələri — B matrisinin komponentləri
Xarici qüvvələrin virtual işi və qlobal tənliklərin yığılması — Qlobal daxili qüvvə vektoruna keçid
Toxunan sərtlik matrisi — Daxili qüvvənin zaman törəməsi ilə xəttiləşdirmə
Fiziki kəmiyyətlərin işarələri siyahısı