Məzmuna keç

Forma funksiyalarının fəza törəmələri

Forma funksiyaları və sonlu element aproksimasiyası bölməsində təqdim olunan \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) forma funksiyaları elementin lokal koordinatları olan \(\boldsymbol{r}\) təbii koordinatlarının funksiyaları kimi verilir. Digər tərəfdən, deformasiya–yerdəyişmə əlaqəsi vasitəsilə zəif formanın inteqralaltı ifadələrinə fiziki koordinatlara (istinad konfiqurasiyası \(\boldsymbol{X}\) və ya cari konfiqurasiya \(\boldsymbol{x}\)) görə qismən törəmələr, yəni \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) və ya \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) daxil olur. Bu bölmədə element düyün koordinatlarından və təbii koordinatlara görə törəmələrdən bu forma funksiyalarının fəza törəmələrinin hesablanması proseduru sistemləşdirilir.

Zəncir qaydası ilə fəza törəmələrinin ifadəsi

\(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) interpolasiya düsturuna (əvvəlki bölmə) zəncir qaydasını tətbiq edib, təbii koordinatlardan fiziki koordinatlara təsvirin Yakobi matrisi \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) istifadə edildikdə aşağıdakı alınır:

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Burada \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) və \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) elə matrislərdir ki, onların \(\alpha\) sətri \(\alpha\) düyünü üçün qismən törəmə vektorunu göstərir; hər biri \(n_e \times 3\) matrisidir.

Yakobi matrisinin qurulması

Interpolasiya düsturunu \(\boldsymbol{r}\) üzrə diferensiallaşdırdıqda

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Beləliklə, Yakobi matrisi birbaşa element düyün koordinatları \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) və təbii koordinat törəmələri \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) əsasında qurula bilər. Təbii koordinat törəmələri forma funksiyalarının funksional forması ilə müəyyən edilir və hər element növü üçün əvvəlcədən reallaşdırılmışdır.

Yakobi matrisinin determinantı \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) ədədi inteqrallamada həcm elementini \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) kimi çevirmək üçün istifadə olunur. Determinant \(0\) olarsa, element degenerasiyaya uğrayır və hesablama baş tutmur.

Hesablama axını

Yuxarıdakı çıxarışdan \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) fəza törəmələrinin hesablanmasını aşağıdakı dörd mərhələyə bölmək olar.

  1. Təbii koordinat törəmələrinin hesablanması: Element növünü və qiymətləndirmə nöqtəsinin \(\boldsymbol{r}\) təbii koordinatlarını giriş kimi istifadə edərək, təbii koordinat törəmələri matrisi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) hesablanır. Forma funksiyalarının funksional forması element növünə görə fərqləndiyindən emal element növünə görə şaxələnir.
  2. Yakobi matrisinin hesablanması: Element düyün koordinatları \(\boldsymbol{X}^e\) və \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) əsasında əvvəlki bölmədəki tənlikdən istifadə etməklə Yakobi matrisi \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) qurulur.
  3. Tərs matrisin və determinantın hesablanması: Yakobi matrisinin tərsi \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) və determinantı hesablanır. Determinant ədədi inteqrallamada çəki əmsalında istifadə olunur.
  4. Fəza törəmələrinin hesablanması: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) və \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) hasilindən fəza törəmələri \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) alınır.

Bu dörd mərhələ element növünə və fəza ölçüsünə (iki və ya üç ölçü) görə şaxələnsə də, ümumi axın eynidir.

İstinad və cari konfiqurasiyaların ortaq emalı

Yuxarıdakı prosedurda \(\boldsymbol{X}^e\) sadəcə cari düyün koordinatları \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ilə əvəz edilərək cari konfiqurasiyada fəza törəmələri \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) də əldə oluna bilər. Beləliklə, yalnız giriş düyün koordinatlarını dəyişməklə eyni prosedur Total Lagrange və Updated Lagrange formulyasiyaları üçün ortaq istifadə edilə bilər.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status