Məzmuna keç

Forma funksiyaları və sonlu element aproksimasiyası

Virtual iş prinsipinin zəif formasını hesablama yolu ilə emal etmək üçün cismin oblastı sonlu sayda elementə bölünür və hər element daxilində material nöqtələrinin koordinatları, yerdəyişmə və sınaq funksiyası düyün qiymətləri və forma funksiyalarından interpolasiya edilir. Forma funksiyalarının fəza törəmələri Forma funksiyalarının fəza törəmələri bölməsində, zəif formanın diskretləşdirilməsi Daxili virtual işin diskretləşdirilməsi bölməsində, hər element növü üçün forma funksiyalarının konkret ifadələri isə Elementlərin nömrələnməsi sistemi və forma funksiyaları kitabxanası və sonrakı bölmələrdə verilir.

Oblastın bölünməsi və inteqralların elementlər üzrə cəmi

İstinad konfiqurasiyasındakı \(\Omega_0\) oblastı və cari konfiqurasiyadakı \(\Omega\) oblastı müvafiq olaraq \(\Omega^e_0\) və \(\Omega^e\) elementlərinin birləşməsi ilə aproksimasiya edilir:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) element nömrəsidir və element sərhədləri qonşu elementlər arasında ortaqdır.) Bununla virtual iş prinsipindəki həcm və səth inteqralları ayrı-ayrı elementlər üzrə inteqralların cəminə ayrılır:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Cari konfiqurasiya üçün də \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) və \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) əvəzləmələri ilə eyni qayda tətbiq olunur.) Bundan sonra zəif formanın hesablanması inteqralların elementlər üzrə qurulmasına gətirilir.

Düyün qiymətləri və forma funksiyaları ilə interpolasiya (izoparametrik elementlər)

Hər \(\Omega^e_0\) elementinə \(n_e\) düyün aid edilir. \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) element düyününün istinad konfiqurasiyasındakı koordinatları və düyün yerdəyişmələri \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) olsun. Element düyün vektorları \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) və \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) bu qiymətlərin düzülməsi ilə qurulur; onlar \(e\) elementi üçün qlobal düyün vektorlarından \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) bütün düyünlərin sayıdır) yalnız həmin elementi təşkil edən düyünlərin komponentlərini götürür.

Element daxilində lokal koordinatlar olan təbii koordinatlar \(\boldsymbol{r}\) parametr kimi istifadə edilərək forma funksiyaları \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) eyni forma funksiyaları ilə element daxilində material koordinatlarını, yerdəyişməni və sınaq funksiyasını interpolasiya edir (izoparametrik element və Qalerkin üsulu):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Forma funksiyaları aşağıdakı iki xassəni ödəyəcək şəkildə qurulur, element həndəsəsi isə təbii koordinatlardan material koordinatlarına \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) təsviri element daxilində qarşılıqlı birqiymətli olacaq şəkildə seçilir:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\), \(\alpha\) düyününə uyğun təbii koordinatlardakı nöqtədir, \(\delta_{\alpha\beta}\) isə Kroneker deltasıdır.) Birinci tənlik sərt cismin köçürülməsinin bərpasını, ikinci tənlik isə interpolasiya olunmuş qiymətin hər düyündə düyün qiyməti ilə üst-üstə düşməsini təmin edir. Hər element növü üçün \(n_e\) və \(N_\alpha^e\) konkret ifadələri Elementlərin nömrələnməsi sistemi və forma funksiyaları kitabxanası və sonrakı bölmələrdə verilir. İşarələməni ağırlaşdırmamaq üçün element növündən asılılıq elementə aid yuxarı indeks \(e\) ilə göstərilir.

Yuxarıdakı interpolasiya qaydaları ilə zəif formanın inteqralaltı ifadəsi yalnız element düyün qiymətləri \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) və \(N_\alpha^e\) vasitəsilə ifadə oluna bilər. Deformasiya isə interpolasiya olunmuş yerdəyişmədən və deformasiya–yerdəyişmə əlaqəsindən, gərginlik də həmin deformasiyadan və materialın müəyyənedici qanunundan alınır; bu kəmiyyətlər düyün qiymətlərindən birbaşa interpolasiya edilmir. Onlar element daxilində inteqrallama nöqtələrində hesablanır (Ədədi inteqrallama).

Qlobal düyün vektorlarının düzülüş qaydası

Düyünlərə aid edilmiş fiziki kəmiyyətlər qlobal düyün vektorunda düyün nömrəsi → sərbəstlik dərəcəsi artan ardıcıllığı ilə düzülür. \(\alpha\) düyünündə \(i\) sərbəstlik dərəcəsinin komponenti \(u_{i\alpha}\) ilə işarə edilirsə, üçölçülü (\(i=1,2,3\)) və ikiölçülü (\(i=1,2\)) hallar üçün müvafiq olaraq

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

\(\boldsymbol{X}^n\) koordinatları və \(\delta\boldsymbol{u}^n\) sınaq funksiyası da eyni düzülüşə malikdir. Bundan sonra matris və vektor formasındakı çıxarışlar üçölçülü halı təmsilçi kimi götürməklə yazılır.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status