Elastoplastiklik¶

Bu fəsildə FrontISTR-də istifadə olunan elastoplastik konstitutiv qanunun çərçivəsi izah edilir. Tətbiq sahələrinin seçilməsi və giriş parametrləri haqqında təfərrüatlar üçün funksiyalar bölməsindəki 03_material səhifəsinə baxın.

Hadisə (plastik deformasiya)¶

TBD (növbəti mərhələdə tam mətn hazırlanacaq).

Konstitutiv qanunun çərçivəsi¶

FrontISTR əlaqəli axma qaydasına əsaslanan elastoplastik konstitutiv tənlikdən istifadə edir. Bu konstitutiv tənlik Kirchhoff gərginliyinin Jaumann sürəti ilə deformasiya sürəti tensoru arasındakı əlaqəni ifadə edir və deformasiya analizində updated Lagrange üsulu tətbiq olunur.

Elastoplastik cismin axma şərtinin aşağıdakı kimi verildiyini qəbul edək.

İlkin axma şərti:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Sonrakı axma şərti:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

Burada,

\(F\): axma funksiyası
\(\sigma_{y_0}\): ilkin axma gərginliyi
\(\sigma_y\): sonrakı axma gərginliyi
\(\sigma\): gərginlik tensoru
\(e\): kiçik deformasiya tensoru
\(e^p\): plastik deformasiya tensoru
\(\overline{e}^p\): ekvivalent plastik deformasiya

Axma gərginliyi ilə ekvivalent plastik deformasiya arasındakı əlaqənin birölçülü vəziyyətdəki gərginlik-plastik deformasiya əlaqəsi ilə üst-üstə düşdüyünü qəbul edək.

Birölçülü vəziyyətdə gərginlik-plastik deformasiya əlaqəsi

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Burada \(H'\) deformasiya bərkiməsi əmsalıdır.

Ekvivalent gərginlik-ekvivalent plastik deformasiya əlaqəsi

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Sonrakı axma funksiyası ümumiyyətlə temperaturun və plastik deformasiya işinin funksiyasıdır, lakin burada sadəlik üçün yalnız ekvivalent plastik deformasiya \(\overline{e}^p\)-nin funksiyası olduğu qəbul edilir. Plastik deformasiya davam etdiyi müddətdə \(F = 0\) ödənməli olduğundan aşağıdakı tənlik qüvvədə olmalıdır.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Burada \(\dot{F}\), \(F\)-in zaman törəməsini göstərir; bundan sonra hər hansı \(A\) kəmiyyətinin zaman törəməsi \(\dot{A}\) ilə işarələnəcək.

Plastik potensial \(\Theta\)-nın mövcudluğunu qəbul edib plastik deformasiya sürətini aşağıdakı kimi ifadə edək.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Burada \(\dot{\lambda}\) əmsaldır.

Bundan əlavə, plastik potensial \(\Theta\)-nın axma funksiyası \(F\)-ə bərabər olduğunu qəbul edərək aşağıdakı əlaqəli axma qaydasını götürək.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Bu tənliyi uyğunluq şərti tənliyinə yerinə qoyduqda aşağıdakı ifadə alınır.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Burada \(D\) elastiklik matrisidir və

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastik gərginlik-deformasiya əlaqəsi aşağıdakı kimi yazıla bilər.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Elastoplastik materialın axma funksiyası \(F\) məlum olduqda, bu tənlikdən onun konstitutiv tənliyi əldə edilir.

Axma funksiyaları¶

Aşağıda FrontISTR-də istifadə olunan elastoplastik axma funksiyaları sadalanır.

Von Mises axma funksiyası¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Burada \(J_2\) deviator gərginlik tensorunun ikinci invariantıdır.

Mohr-Coulomb axma funksiyası¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Burada \(\sigma_1, \sigma_3\) müvafiq olaraq maksimum və minimum baş gərginliklər, \(c\) koheziya, \(\phi\) isə daxili sürtünmə bucağıdır.

Drucker-Prager axma funksiyası¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Burada material sabitləri \(\alpha\) və \(\sigma_y\) materialın koheziyası və sürtünmə bucağından aşağıdakı kimi hesablanır.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Əlaqəli mövzular¶

Xətti elastiklik — elastik cavab (elastoplastikliyin elastik hissəsi)
Toxunan sərtlik matrisi — material qeyri-xəttiliyini əhatə edən inkremental analiz üçün toxunan sərtlik
Material məlumatları (funksiya) — axma funksiyası və bərkimə qanunu seçimləri və onların tətbiqi