Məzmuna keç

Xətti elastiklik

Bu fəsildə xətti elastik materialların konstitutiv qanunu (Hooke qanunu) təsvir edilir. Model seçimi və giriş spesifikasiyalarının təfərrüatları üçün funksiyalar bölməsindəki 03_material səhifəsinə baxın.

Hadisə (xətti elastik cavab)

Xətti elastik cisim yük altında deformasiyanın kifayət qədər kiçik olduğu sahədə gərginliklə deformasiya arasında xətti münasibət göstərən və yük götürüldükdə bütün deformasiyanın ilkin vəziyyətə qayıtdığı geri dönən, tarixçədən asılı olmayan materialdır. Plastiklik və sürünmədən fərqli olaraq, vəziyyəti ifadə edən daxili dəyişənlərə (plastik deformasiya və ya özlü deformasiya kimi) malik deyil və gərginlik yalnız cari deformasiya ilə birqiymətli müəyyən olunur.

Kiçik deformasiya sahəsində Cauchy gərginliyi \(\boldsymbol{\sigma}\) və sonsuz kiçik deformasiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\) istifadə olunur; sonlu deformasiya sahəsində (böyük fırlanmaları əhatə edən, lakin deformasiyanın özünün kiçik olduğu məsələlərdə) isə ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{S}\) və Green-Lagrange deformasiyası \(\boldsymbol{E}\) istifadə olunur (St.Venant-Kirchhoff materialı).

Konstitutiv qanun

İzotrop xətti elastik material

Kiçik deformasiya sahəsində izotrop Hooke qanunu Lamé sabitləri \(\lambda, \mu\) ilə

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

şəklində ifadə olunur. Komponent yazılışında

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

alınır və deformasiya ilə ikiqat kontraksiya \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) verir. Lamé sabitləri Young modulu \(E\) və Poisson əmsalı \(\nu\) ilə aşağıdakı münasibətdədir:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt yazılışında deformasiya vektoru \(\hat{\varepsilon}\) ilə gərginlik vektoru \(\hat{\sigma}\) arasındakı münasibət \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) kimi yazılır və üçölçülü material matrisi \(D\)

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ilə verilir (reallaşdırmada bu matris yazılışından istifadə olunur).

Ortotrop xətti elastik material

Əsas ox istiqamətlərinə görə elastik sabitləri fərqli olan materiallarda doqquz müstəqil sabitli ortotrop model qəbul edilir: əsas ox istiqamətlərində Young modulları \(E_1, E_2, E_3\), əsas oxlar arasındakı Poisson əmsalları \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) və sürüşmə modulları \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) matrisinin konkret forması üçün ümumi istinadlara baxın.

Sonlu deformasiya sahəsi: St.Venant-Kirchhoff materialı

Böyük fırlanmaları əhatə edən, lakin deformasiyanın özünün kiçik olduğu məsələlərdə ikinci Piola-Kirchhoff gərginliyi \(\boldsymbol{S}\) və Green-Lagrange deformasiyası \(\boldsymbol{E}\) arasındakı xətti elastiklik qanunu kimi St.Venant-Kirchhoff materialı qəbul edilir:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé sabitləri \(\lambda, \mu\) kiçik deformasiya halındakı kimi təyin olunur. Lakin gərginlik-deformasiya cütünün tərifləri fərqli olduğuna görə bunun kiçik deformasiya Hooke qanunundan fərqli konstitutiv qanun olduğuna diqqət edin.

Hipoelastik material

Updated Lagrange üsulunda nisbi Kirchhoff gərginlik tenzorunun Jaumann sürəti \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ilə deformasiya sürəti tenzoru \(\boldsymbol{D}\) arasında xətti elastiklik qanununu

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

qəbul edən hipoelastik material istifadə olunur. Burada da \(\boldsymbol{C}\)-nin Lamé sabitləri ilə tərifi yuxarıdakı kimidir, lakin gərginlik-deformasiya cütü fərqli olduğu üçün bu ayrıca konstitutiv qanundur. Zaman inteqrasiyası proseduru (irəli Euler inteqrasiyası və mərkəzi fərq approksimasiyası) ilə \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) gərginliyinin yenilənməsinin təfərrüatları üçün tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex sənədinə baxın.

İkiölçülü analiz və qabıq elementləri üçün sadələşdirmə

Müstəvi gərginlik (\(\sigma_{33} = 0\))

Nazik lövhə və qabıqların yüklənməsini ifadə edən müstəvi gərginlikdə \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) qəbul edilir və müstəvidənkənar deformasiya komponenti \(\varepsilon_{33}\) cəbri yolla aradan qaldırılmış \(D\) istifadə olunur:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Müstəvi deformasiya (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Qalınlıq istiqamətində məhdudlaşdırılmış uzun konstruksiyanın kəsiyini ifadə edən müstəvi deformasiya halında \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) qəbul edilir:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Oxasimmetrik

Silindrik koordinatlarda \((r, \theta, z)\) \(\theta\) istiqamətində bircins məsələləri nəzərdən keçirən oxasimmetrik analizdə \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) və \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) dörd komponenti saxlanılır və

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

alınır.

Qabıq elementləri (müstəvi gərginlik + eninə sürüşmə)

Qabıq elementlərində müstəvidaxili gərginlik müstəvi gərginlik kimi götürülür; əlavə olaraq eninə sürüşmə deformasiya komponentləri \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) üçün sürüşmə düzəliş əmsalı \(\kappa\) (adətən \(\kappa = 5/6\)) tətbiq olunmuş \(\kappa\, G\) istifadə edilir. Hər element üçün konkret formulyasiya Təkmilləşdirilmiş element formulyasiyaları bölməsində verilir. Funksiyalar bölməsindəki 03_material səhifəsində “qabıq elementləri yalnız xətti elastikliyi dəstəkləyir” spesifikasiyası müstəvidaxili vəziyyətin müstəvi gərginlik kimi götürülməsi sadələşdirməsinə əsaslanır.

Temperaturdan asılılıq

Young modulu \(E\), Poisson əmsalı \(\nu\) və xətti istilik genişlənməsi əmsalı \(\alpha\) ümumiyyətlə temperatur \(T\) funksiyası kimi göstərilir. FrontISTR-də sonlu temperatur nöqtələri ardıcıllığı \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) üçün qiymətlər daxil edilir və hesablama zamanı temperatur \(T\) qonşu nöqtələr arasında xətti interpolyasiya ilə qiymətləndirilir. Aralıqdan kənar temperaturlar üçün (\(T < T_1\) və ya \(T > T_n\)) ən yaxın son nöqtə \(T_1\) və ya \(T_n\) qiyməti ilə ekstrapolyasiya aparılır (sabit ekstrapolyasiya).

İstilik və istilikkeçirmə xassələrinin (sıxlıq, xüsusi istilik tutumu və istilikkeçirmə əmsalı) temperaturdan asılılığı üçün İstilik xassələri bölməsinə baxın. İnterpolyasiya qaydaları bunlarla eynidir.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status