Məzmuna keç

Xətti elastik statik analiz (giriş)

Bu bölmədə sonsuz kiçik deformasiya nəzəriyyəsinə əsaslanan elastik statik analizin formullaşdırılması təqdim olunur. Gərginlik-deformasiya əlaqəsi üçün xətti elastiklik fərz edilir. Bu fəsil sonlu elementlərlə struktur analizinin ümumi quruluşunu başa düşmək üçün giriş kimi nəzərdə tutulub və müstəqil tamamlanan bir fəsil şəklində təşkil olunub.

Virtual iş prinsipinin ümumi nəzəriyyəsi (cari konfiqurasiya forması, başlanğıc konfiqurasiya forması və sonsuz kiçik deformasiyaya keçid) üçün Virtual iş prinsipi, xətti elastik konstitutiv qanunun təfərrüatları üçün Xətti elastiklik, tensor və Voigt işarələmə qaydaları üçün Tensor işarələməsi və riyazi əsaslar, sonlu deformasiyanın ümumi formullaşdırılması üçün Hərəkət, deformasiya və gərginlik, qeyri-xətti məsələlərin həll üsulları üçün isə Toxunan sərtlik matrisi bölməsinə baxın.

Əsas tənliklər

Sonsuz kiçik deformasiya və xətti elastiklik fərziyyələri altında bərk cisim mexanikasının sərhəd qiymət məsələsi tarazlıq tənliyindən, mexaniki sərhəd şərtlərindən və həndəsi sərhəd şərtlərindən (əsas sərhəd şərtləri) ibarətdir (Şəkil 2.1.1-ə baxın):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{daxilində} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{üzərində} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{üzərində} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Burada \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy gərginliyi, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) vahid həcmə düşən həcm qüvvəsi, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) təyin edilmiş səth qüvvəsi, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) təyin edilmiş yerdəyişmə, \(S_t, S_u\) isə mexaniki və həndəsi sərhədlərdir.

Bərk cisim mexanikasında sərhəd qiymət məsələsi (sonsuz kiçik deformasiya məsələsi)

Şəkil 2.1.1 Bərk cisim mexanikasında sərhəd qiymət məsələsi (sonsuz kiçik deformasiya məsələsi)

Simmetrik qradiyent operatorundan istifadə etməklə deformasiya-yerdəyişmə əlaqəsi belədir

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Xətti elastik konstitutiv tənlik belədir

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

burada \(\boldsymbol{C}\) dördüncü tərtibli elastiklik tensorudur.

Virtual iş prinsipi

Virtual iş prinsipinin ümumi formaları (cari konfiqurasiya forması, başlanğıc konfiqurasiya forması və sonsuz kiçik deformasiyaya keçid) Virtual iş prinsipi bölməsində ümumiləşdirilib. Sonsuz kiçik deformasiya və xətti elastiklik fərziyyələri altında zəif forma belədir

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Konstitutiv tənlik \eqref{eq:2.1.5} yerinə qoyulub Voigt işarələməsində \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) yazıldıqda, diskretləşdirmədə birbaşa istifadə olunan forma alınır:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

alınır; burada \(D\) Xətti elastiklik bölməsində təyin olunan elastiklik matrisidir. \eqref{eq:2.1.10} və \eqref{eq:2.1.7} tənlikləri aşağıda diskretləşdirilən virtual iş prinsipini təşkil edir.

Diskretləşdirmə və qlobal tənliyin yığılması

\( \eqref{eq:2.1.10} \) tənliyindəki virtual iş prinsipini sonlu elementlər üzrə diskretləşdirdikdə

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Hər element üçün yerdəyişmə sahəsi elementi təşkil edən düyünlərin yerdəyişmələrindən istifadə etməklə aşağıdakı kimi interpolyasiya edilir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformasiya daha sonra \(\eqref{eq:2.1.4}\) tənliyindən istifadə etməklə aşağıdakı kimi verilir.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.12}\) və \(\eqref{eq:2.1.13}\) tənliklərini \(\eqref{eq:2.1.11}\) tənliyində yerinə qoyduqda

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.14}\) tənliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Burada, \(\eqref{eq:2.1.16}\) və \(\eqref{eq:2.1.17}\) tənlikləri ilə təyin olunan matris və vektorun komponentləri hər sonlu element üçün hesablana və üst-üstə qoymaqla yığıla bilər.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.15}\) tənliyi ixtiyari virtual yerdəyişmə \(\delta \boldsymbol{U}\) üçün doğru olduğuna görə aşağıdakı tənlik alınır.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Eyni zamanda, \(\eqref{eq:2.1.3}\) tənliyindəki yerdəyişmə sərhəd şərti aşağıdakı kimi ifadə olunur.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.18}\) tənliyini \(\eqref{eq:2.1.19}\) tənliyindəki məhdudiyyət şərti altında həll etməklə düyün yerdəyişməsi \(\boldsymbol{U}\) müəyyən edilə bilər.

Həmçinin baxın

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status