Slaan oor na inhoud

Hantering van geometriese randvoorwaardes

Die Newton-Raphson-metode los by elke iterasie die lineêre vergelyking \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) op, maar geometriese randvoorwaardes (verplasingsbeperkings) is nog nie daarin ingesluit nie. Hierdie hoofstuk wys hoe die styfheidsmatriks \(\boldsymbol{K}\) en residuvektor \(\boldsymbol{R}\) gewysig moet word vir vryheidsgrade met verplasingsbeperking \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), sodat die verplasing ná die iterasie die voorgeskrewe waarde bereik. Meerpuntbeperkings (MPC) en nie-lineêre beperkings as gevolg van kontak word afsonderlik hanteer; sien meerpuntbeperkings en kontak.

Benadering om verplasingsbeperkings as onbekende veranderlikes te behou

Die verplasing van 'n knoop met 'n geometriese randvoorwaarde is nie meer 'n onbekende veranderlike nie, maar is vasgestel op die voorgeskrewe waarde \(\bar{u}_i\). Hierdie vryheidsgrade kan as konstantes beskou en uit die lineêre vergelyking \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) geëlimineer word; FrontISTR dwing egter die beperkings af deur \(\boldsymbol{K}\) en \(\boldsymbol{R}\) te wysig terwyl die beperkte vryheidsgrade in die korreksievektor \(d\boldsymbol{u}\) op dieselfde wyse as die ander vryheidsgrade behou word.

Met hierdie benadering verander die dimensies van die koëffisiëntmatriks en die volgorde van die vryheidsgrade nie na gelang van die teenwoordigheid van beperkings nie, sodat dit nie nodig is om veranderlikes te elimineer en die oop rye en kolomme weer te verpak nie. Omdat sulke herverpakking omslagtig is in 'n implementering wat die koëffisiëntmatriks as 'n yl matriks stoor, gebruik FrontISTR die tweede benadering, waarin die beperking slegs deur opdatering van die koëffisiëntmatriks en regterkant afgedwing word.

Teikenwaarde vir Newton-Raphson-korreksies

Vir 'n verplasingsbeperkte vryheidsgraad \(i\) word die korreksie \(du_i\) wat in die Newton-Raphson-iterasie verkry word, so gestel dat

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1ste iterasie}) \\ 0 & (\text{2de en daaropvolgende iterasies}) \end{cases} \]

Wysig \(\boldsymbol{K}\) en \(\boldsymbol{R}\) sodat die korreksie hierdie waarde aanneem. Daarmee bereik die verplasingsinkrement die voorgeskrewe waarde \(\bar{u}_i\) in die eerste iterasie; vanaf die tweede iterasie word die korreksie \(0\) en word die voorgeskrewe waarde gehandhaaf.

Prosedure vir die wysiging van die matriks en residuvektor

Die teikenwaarde van die vorige afdeling word met die volgende twee wysigings bereik terwyl die vorm van die lineêre vergelyking \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) behou word.

  1. Diagonaliser die \(i\)-ry: vervang die diagonale term \(K_{ii}\), die koëffisiënt van \(du_i\), met \(1\), vervang alle ander koëffisiënte \(K_{ij}\ (j \not= i)\) met \(0\), en stel die regterkant op \(R_i \to d\bar{u}_i\). Die vergelyking in die \(i\)-ry word dan \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Oordrag vanaf rye \(j(\not= i)\): vir elke ry \(j(\not= i)\), as \(K_{ji} \not= 0\), skuif die term \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) na die regterkant. Trek dus \(K_{ji} d\bar{u}_i\) van die regterkant af en stel die koëffisiënt \(K_{ji}\) van \(du_i\) op \(0\).

In komponentvorm stem die vergelykings voor en ná die wysiging soos volg ooreen.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Noem die gewysigde koëffisiëntmatriks en regterkant onderskeidelik \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\); die lineêre vergelyking wat uiteindelik opgelos moet word, is

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

As daar meerdere beperkte vryheidsgrade is, word wysigings 1 en 2 hierbo opeenvolgend op elke beperkte vryheidsgraad \(i\) toegepas.

Verwerkingsomvang in die ylmatriksimplementering

In die implementering word die koëffisiëntmatriks \(\boldsymbol{K}\) in ylmatriksvorm gestoor. Daarom word die verwerking van rye \(j(\not= i)\) in prosedure 2 van die vorige afdeling slegs uitgevoer vir rye met nienul-elemente in kolom \(i\), dit wil sê vir die vryheidsgrade van knope wat deur elemente aan die beperkte vryheidsgraad \(i\) verbind is. Vir onverbonde vryheidsgrade is \(K_{ji} = 0\), sodat die oordrag van die term nie die regterkant verander nie. Hierdie beperking maak dit moontlik om die beperkingsverwerking met slegs plaaslike bewerkings relatief tot die totale aantal knope te voltooi.

Verwante onderwerpe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status