Oorgangswarmtegeleidingsanalise¶

Die tydsdiskretisering en iteratiewe oplossing van warmtegeleiding in vaste stowwe met die eindige-elementmetode (Eindige element Metode) word hier beskryf. Sien Warmtegeleidingsvergelyking vir die beheerende vergelyking en randvoorwaardes in die kontinuum.

Gediskretiseerde vergelyking (uitgangspunt)¶

Wanneer die warmtegeleidingsvergelyking (vergelyking vir die warmtegeleidingsvergelyking (gov_he_main)) met die Galerkin-metode gediskretiseer word,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

waar

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]

\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]

\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Hier is \(K\), \(M\), \(F\) en \(N\) onderskeidelik die warmtegeleidingsmatriks (insluitend konveksie- en stralingsbydraes vanaf die grens), massamatriks, termiese lasvektor en vormfunksiematriks. Die definisies van die materiaaleienskap-simbole (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), ens.) volg Warmtegeleidingsvergelyking.

Tydsdiskretisering en iteratiewe oplossing¶

Vergelyking\(\eqref{eq:2.4.8}\) is 'n nie-lineêre en nie-bestendige vergelyking. Diskretiseer nou ten opsigte van tyd met die agterwaartse Euler-metode. Wanneer die temperatuur op tydstip \(t=t_0\) bekend is, word die temperatuur op tydstip \(t=t_0+\Delta t\) met die volgende vergelyking bereken.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Beskou vervolgens die verbetering van die temperatuurvektor \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), wat vergelyking\(\eqref{eq:2.4.13}\) benaderd bevredig, om die meer akkurate oplossing \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) te verkry.

Skryf daarvoor eers die temperatuurvektor soos volg.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Die produk van die warmtegeleidingsmatriks en temperatuurvektor, die massamatriks, ensovoorts, word benaderd deur die volgende vergelykings uitgedruk.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]

\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Deur vergelyking\(\eqref{eq:2.4.14}\), vergelyking\(\eqref{eq:2.4.15}\) en vergelyking\(\eqref{eq:2.4.16}\) in vergelyking\(\eqref{eq:2.4.13}\) te vervang en terme van tweede en hoër orde weg te laat, word die volgende vergelyking verkry.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Verder word die koëffisiëntmatriks aan die linkerkant benaderd met die volgende vergelyking geëvalueer.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Hier is \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) die raaklynstyfheidsmatriks.

Uiteindelik kan die temperatuur op tydstip \(t=t_0+\Delta t\) bereken word deur iteratiewe berekening met die volgende vergelyking uit te voer.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Veral vir bestendige analise word die iteratiewe berekening met die volgende vergelyking uitgevoer.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]

\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Vir oorgangsanalise word 'n implisiete metode vir die tydsdiskretisering gebruik, en daarom is die keuse van die tydinkrement \(\Delta t\) oor die algemeen nie deur 'n stabiliteitsbeperking op die grootte daarvan gebind nie. As die tydinkrement \(\Delta t\) egter te groot is, neem die aantal iterasies wat vir konvergensie benodig word toe. Oor die algemeen neem die aantal iterasies toe wanneer die tydinkrement \(\Delta t\) te groot is. In die implementering word die grootte van die residuvektor gemonitor; wanneer konvergensie stadig is, word \(\Delta t\) verklein, en wanneer min iterasies nodig is, word \(\Delta t\) vergroot deur outomatiese inkrementbeheer (→ sien Stapbeheer vir besonderhede).

Verwante items¶

Analisetipes — funksionele oorsig van warmtegeleidingsanalise
Stapbeheer — besonderhede van outomatiese inkrementbeheer
Verwysings