Frekwensieresponsanalise¶

Probleemformulering¶

Frekwensieresponsanalise evalueer die gestadigde responsamplitude en -fase van ’n stelsel in die frekwensiedomein wanneer die eksterne krag harmonies met tyd verander. Omdat die bewegingsvergelyking verskillend geformuleer word met en sonder demping, lei hierdie hoofstuk eers die eievorms uit ongedempte vrye vibrasie af en gebruik dit daarna as ’n modale basis om die gedempte harmoniese respons uit te brei.

Ongedempte vrye vibrasie en eievorms¶

Wanneer demping verwaarloos word, is die bewegingsvergelyking soos volg.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Wanneer dit volgens elke eievorm uitgebrei word,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Deur dit in Vgl. \(\eqref{eq:2.6.1}\) te vervang, word

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Hieruit word die veralgemeende eiewaardeprobleem verkry. Die numeriese oplossingsmetodes daarvoor (verskuiwings-inverse iterasie en die Lanczos-metode) word in Modale analise behandel. Hierdie afdeling som die eienskappe van die verkreë eiefrekwensies en eievorms op wat in die daaropvolgende harmoniese-responsuitbreiding gebruik word.

Reële aard van die eiefrekwensies¶

Die eiefrekwensie kan soos volg as reëel bewys word. Stel \(\omega_j^2 = \lambda_j\); deur die komplekse gekonjugeerde van Vgl. \(\eqref{eq:2.6.3}\) te neem, word Vgl. \(\eqref{eq:2.6.4}\) verkry.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Vermenigvuldiging met \(\overline{U}_J^T\) gee

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Uit Vgl. \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Omdat die massamatriks simmetries positief-definiet is, geld vir ’n niesero-eievektor

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Gevolglik,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

en dus is \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reëel.

Ortogonaliteit en normalisering van eievorms¶

Beskou twee verskillende modusse.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Hieruit volg

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

en wanneer die eiewaardes verskil,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Verskillende eievorms is dus ortogonaal met betrekking tot die massamatriks. Vir dieselfde modus maak normalisering met betrekking tot die massamatriks (Vgl. \(\eqref{eq:2.6.12}\)) die verdere behandeling eenvoudiger.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmoniese respons met demping¶

Vervolgens word die formulering van frekwensieresponsanalise met demping getoon. Die betrokke bewegingsvergelyking word in Vgl. \(\eqref{eq:2.6.13}\) gegee.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Die dempingsterm word as Rayleigh-tipe aanvaar en kan soos in \(\eqref{eq:2.6.14}\) uitgedruk word.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Met die eievektore wat uit modale analise verkry is, kan die verplasingsvektor op tyd t soos in Vgl. \(\eqref{eq:2.6.15}\) uitgebrei word.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Wanneer die eksternekragterm die harmoniese vorm

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

het, word \(b_{j}(t)\) bepaal. Omdat die bewegingsvergelyking \(\eqref{eq:2.6.13}\) die vorm van gedwonge vibrasie het,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

geld dit. Die reële en imaginêre dele van die uitbreidingskoëffisiënt \(b_{j}(t)\) neem onderskeidelik die vorm van Vgl. \(\eqref{eq:2.6.18}i\) en \(\eqref{eq:2.6.19}\) aan.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Die bogenoemde uitdrukkings word dus verkry.

Verwante onderwerpe¶

Modale analise — formulering van die onderliggende eiewaardeprobleem
Dinamiese analisemetodes — dinamiese analise in die tydsdomein
Analisetipes — funksionele oorsig van frekwensieresponsanalise