Modale analise¶

Veralgemeende eiewaardeprobleem¶

Wanneer die vrye vibrasie van ’n kontinuum ontleed word, word ruimtelike diskretisering uitgevoer en die stelsel as ’n veelvryheidsgraadstelsel met gekonsentreerde massas gemodelleer, soos in Figuur 2.3.1 getoon. Vir ’n ongedempte vryevibrasieprobleem is die beheervergelyking (bewegingsvergelyking) soos volg.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hier is $u$ die veralgemeende verplasingsvektor, $M$ die massamatriks en $K$ die styfheidsmatriks. Laat die eienhoekfrekwensie $\omega$ wees, $a$, $b$, $c$ arbitrêre konstantes en $x$ ’n vektor, en definieer die funksie

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Die tweede afgeleide daarvan is dan

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Deur dit in Vgl. $\eqref{eq:2.3.1}$ te vervang, word

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

dus

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

verkry.

Die koëffisiënt wat Vgl. $\eqref{eq:2.3.5}$ bevredig, $\lambda = \omega^2$ en die vektor $x$ gevind kan word, is die funksie $u(t)$ ’n oplossing van Vgl. $\eqref{eq:2.3.1}$.

Die koëffisiënt $\lambda$ word die eiewaarde genoem en die vektor $x$ die eievektor; die probleem om hulle uit Vgl. $\eqref{eq:2.3.1}$ te bepaal, word die veralgemeende eiewaardeprobleem genoem.

Voorbeeld van ’n veelvryheidsgraadstelsel vir ongedempte vrye vibrasie

Figuur 2.3.1 Voorbeeld van ’n veelvryheidsgraadstelsel vir ongedempte vrye vibrasie

Matrikseienskappe en aannames¶

Vir die veralgemeende eiewaardeprobleem $K x = \lambda M x$ wat in die vorige afdeling verkry is, aanvaar hierdie handleiding die volgende matrikseienskappe. Hierdie aannames vorm die grondslag vir die konvergensie en toepaslikheid van die daaropvolgende verskuiwings-inverse iterasie en Lanczos-metode. Vir komplekse matrikse hou die transponering verband met komplekse konjugering, terwyl reële matrikse simmetries is. Indien matriks $K$ se $ij$-komponent $k_{ij}$ is en die komplekse gekonjugeerde van $k$ deur $\bar{k}$ aangedui word, dan

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

geld die volgende verwantskap.

In hierdie handleiding word matrikse as simmetries en positief-definiet aanvaar. Positief-definiet beteken dat alle eiewaardes positief is; met ander woorde, Vgl. $\eqref{eq:2.3.7}$ word altyd bevredig.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Verskuiwings-inverse iterasie¶

In praktiese strukturele analise met die eindige-elementmetode is al die eiewaardes dikwels nie nodig nie; hoogstens enkele lae-orde eiewaardes is gewoonlik voldoende. HEC-MW is vir grootskaalse probleme bedoel, dus is die matrikse groot en baie yl (met baie nulelemente). Dit is daarom belangrik om die eiewaardes van lae modusse doeltreffend te bepaal.

Wanneer die ondergrens van die eiewaardes $\sigma$ is, word Vgl. $\eqref{eq:2.3.5}$ soos volg getransformeer (wiskundig ekwivalent).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Dit het die volgende nuttige eienskappe vir berekening.

Die modusorde word omgekeer.
Eiewaardes rondom $\rho$ word vergroot.

In werklike berekeninge word die grootste eiewaarde dikwels eerste verkry. Daarom word die hoofkonvergensieberekening op Vgl. $\eqref{eq:2.3.5}$ eerder as Vgl. $\eqref{eq:2.3.8}$ toegepas, met die doel om eiewaardes rondom $\rho$ eerste te bepaal. Hierdie metode word verskuiwings-inverse iterasie genoem.

Lanczos-metode¶

Rede vir keuse (vergelyking met die Jacobi-metode)¶

Onder klassieke metodes is die Jacobi-metode bekend.

Hierdie metode is doeltreffend vir klein, digte matrikse. Die matrikse wat HEC-MW hanteer is egter groot en yl, daarom word hierdie metode nie gebruik nie en word die Lanczos-iterasiemetode gebruik.

Algoritme en eienskappe¶

Hierdie metode, wat in die 1950’s deur C. Lanczos voorgestel is, is ’n algoritme vir die tridiagonalisering van ’n matriks en het die volgende eienskappe.

Dit is ’n iteratiewe konvergensiemetode wat die berekening kan voortsit terwyl die matriks yl bly.
Die algoritme bestaan hoofsaaklik uit matriks-vektorprodukte en is dus geskik vir parallelisering.
Dit is geskik vir geometriese domeinverdeling wat met eindige-elementmaaswerke gepaardgaan.
Doeltreffende berekening is moontlik deur die aantal eiewaardes of die modusreeks wat bepaal moet word, te beperk.

Die Lanczos-metode begin met ’n aanvanklike vektor, bou opeenvolgend ortogonale vektore en bepaal ’n basis vir ’n subruimte. Dit word as vinniger as die subruimtemetode, ’n ander iteratiewe metode, beskou en word wyd in eindige-elementprogramme gebruik. Die metode is egter vatbaar vir rekenaarfoute; die ortogonaliteit van vektore kan verlore gaan en die berekening kan onderweg misluk. Maatreëls teen foutakkumulasie is dus noodsaaklik.

Geometriese betekenis (Krylov-subruimte)¶

Deur die volgende veranderlike transformasie op Vgl. $\eqref{eq:2.3.8}$ toe te pas,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

word die probleem herskryf as

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

verkry.

Op ’n geskikte vektor $q_0$ word ’n lineêre transformasie deur matriks $A$ toegepas (sien Figuur 2.3.2).

$Lineêre transformasie deur matriks $A$ van $q_0$$

Figuur 2.3.2 Lineêre transformasie deur matriks $A$ van $q_0$

Die getransformeerde vektor word geortogonaliseer binne die ruimte wat dit saam met die oorspronklike vektor vorm. Met ander woorde, die sogenaamde Gram-Schmidt-ortogonalisering soos in Figuur 2.3.2 word uitgevoer. Die verkreë vektor word $r_1$ genoem, genormaliseer (lengte 1), en $q_1$ word verkry (Figuur 2.3.3). Met dieselfde algoritme word uit $q_1$ die vektor $q_2$ verkry. Op hierdie punt is $q_2$ ortogonaal tot beide $q_1$ en $q_0$ (Figuur 2.3.4). Deur dieselfde berekening voort te sit, kan onderling ortogonale vektore tot by die maksimum orde van die matriks verkry word.

$Vektor ortogonaal tot $q_0$, naamlik $q_1$$

Figuur 2.3.3 Vektor ortogonaal tot $q_0$, naamlik $q_1$

$Vektor ortogonaal tot $q_1$ en $q_0$, naamlik $q_2$$

Figuur 2.3.4 Vektor ortogonaal tot $q_1$ en $q_0$, naamlik $q_2$

Die Lanczos-algoritme is in die besonder Gram-Schmidt-ortogonalisering van die vektorreeks $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

of, anders gestel, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

hierbo. Hierdie vektorreeks word die Krylov-reeks genoem en die ruimte wat dit vorm die Krylov-subruimte. Wanneer Gram-Schmidt-ortogonalisering in hierdie ruimte uitgevoer word, kan die volgende vektor met die twee mees onlangse vektore bepaal word. Dit word die Lanczos-beginsel genoem.

Tridiagonalisering¶

In die bogenoemde iterasie kan die i+1-ste berekening geskryf word as

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

waar

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

geld. In matriksnotasie word dit

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

waar

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Die eiewaardes word dus verkry deur die eiewaardeprobleem vir die tridiagonale matriks uit Vgl. $\eqref{eq:2.3.13}$ op te los.

Verwante onderwerpe¶

Frekwensieresponsanalise — frekwensierespons met behulp van modale-analyseresultate
Analisetipes — funksionele oorsig van modale analise