Slaan oor na inhoud

Newton-Raphson-metode

Linearisering en Iteratief Recurrence

Virtuele arbeid van Eksterne kragte en Samestelling van die Globaal Vergelyking gee 'n nie-lineêr vergelyking vir die knoop- verplasing by tyd \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), wat is opgelos deur die Newton-Raphson-metode. Die knoop- verplasing Tot tyd \(t_n\), \(\boldsymbol{u}_n\), is aangeneem bekend, en die verplasing inkrement \(\Delta\boldsymbol{u}\) is taken as die unknown veranderlike na bepaal

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

Hereafter, afhanklikheid van die eksterne-kragvektor op knoop- verplasing is neglected, en met \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\),

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

is opgelos.

By die huidig oplossing \(\Delta\boldsymbol{u}\), definieer die raaklyn styfheid

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

Met behulp van hierdie, linearisering van die nie-lineêr vergelyking gee

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

Stel die korreksie in die \(i\)-th iterasie wees \(d\boldsymbol{u}_i\), en stel die residuvektor by die begin van die iterasie wees

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

Dan die iteratief recurrence is

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

Dus, die residu \(\boldsymbol{R}_i\) is 'n grootheid ooreenstemmende na die krag imbalance van ewewig.

Konstruksie van die Raaklynstyfheidsmatriks

Die raaklyn styfheid \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) is saamgestel deur partially differentiating die element interne-kragvektor verkry in Diskretisering van die Virtuele arbeid van Interne kragte ten opsigte van knoop- verplasing, integrating die resulterende element-level integrands oor elke element domein, en assembling hulle. Denoting die element-level integrand deur \(\boldsymbol{K}^e_X\) (verwysing-konfigurasie notasie, TL formulering) of \(\boldsymbol{K}^e_x\) (huidige-konfigurasie notasie, UL formulering), die element raaklyn styfheid is

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

Die volgende gee die final vorms van die TL/UL integrands. In albei gevalle hulle is decomposed in die sum van 'n materiaal styfheid term (initial-verplasing term) en 'n geometries styfheid term (initial-spanning term).

Totale Lagrange Formulering

In die Totale Lagrange formulering, 'n lineêr verhouding is aangeneem tussen die tempo van die tweede Piola-Kirchhoff spanning \(\dot{\boldsymbol{S}}\) en die Green-Lagrange vervorming tempo \(\dot{\boldsymbol{E}}\), naamlik \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\). Hierdie stem ooreen na konstitutief wette vir lineêr elasties materiale (St. Venant-Kirchhoff materiale) en hiperelasties materiale, en FrontISTR gebruik die Totale Lagrange formulering vir hierdie materiale. Die element raaklyn-styfheid integrand is dan geskryf in tensor vorm as

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

Die eerste term op die regterkant kant is die materiaal styfheid term (initial-verplasing term), en die tweede term is die geometries styfheid term (initial-spanning term).

In die FrontISTR implementering, hierdie integrand is geëvalueer in matriks vorm met behulp van Voigt notasie:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

Elke matriks is soos volg. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) is die B matrikse ingestel in Diskretisering van die Virtuele arbeid van Interne kragte, en \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) is die Voigt voorstelling van die konstitutief tensor \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\), naamlik 'n \(6\times 6\) materiaal styfheidsmatriks (Tensor Notasie en Wiskundige Fundamentals). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) is die volgende rearrangement matrikse gebruik na druk uit die geometries styfheid term as 'n matriks product. Eerste, vir 'n \(3\times 3\) tweede-orde tensor \(\boldsymbol{A}\), definieer die notasie \([\,\cdot\,]\) dat rearranges dit in 'n 9-komponent vektor as

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

Met hierdie definisie, \(\boldsymbol{F}_9\) expresses die variasie van die vervorming gradiënt in die vorm \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) en is 'n \(9\times d n_e\) matriks. Vir element knoop \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), die ooreenstemmende \(9\times d\) blok is

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ is die } 3\times 3 \text{ identity matriks}) \]

en is gegee deur \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\), met die blokke gerangskik horizontally in element-knoop orde. \(\boldsymbol{S}_9\) is gekies dus dat, wanneer gekombineer met hierdie matriks, die geometries styfheid term is uitgedruk as \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\); dit is die volgende \(9\times 9\) matriks

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Hierdie is die resulterende matriks.

Bygewerk Lagrange Formulering

In die Bygewerk Lagrange formulering, 'n lineêr verhouding is aangeneem tussen die Jaumann tempo van die relatief Kirchhoff spanningstensor \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) en die tempo-of-vervorming tensor \(\boldsymbol{D}\), naamlik \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\). Hierdie is die vorm van 'n hypoelastic konstitutiewe wet algemeen na lineêr elasties, elastoplasties, en kruip materiale, en FrontISTR gebruik die Bygewerk Lagrange formulering vir hierdie materiale. Die element raaklyn-styfheid integrand uitgedruk in die huidig konfigurasie is dan geskryf in tensor vorm as

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

waar \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) is die Truesdell tempo, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) is die lineêr deel van die Almansi vervorming, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) is die verplasing gradiënt ten opsigte van die huidig konfigurasie, en \(\boldsymbol{L}\) is die snelheid-gradiënt tensor. Die eerste term op die regterkant kant is die materiaal styfheid term, en die tweede term is die geometries styfheid term.

In die FrontISTR implementering, hierdie integrand is geëvalueer in matriks vorm met behulp van Voigt notasie:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

Hier, \(\boldsymbol{b}\) is die B matriks saamgestel in die huidig konfigurasie (Diskretisering van die Virtuele arbeid van Interne kragte). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) word verkry van \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) gedefinieer vir die TL formulering deur vervang die tweede PK spanning \(\boldsymbol{S}\) met die Cauchy spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en die verwysing-konfigurasie gradiënt \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) met die huidige-konfigurasie gradiënt \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\).

\(\boldsymbol{G}\) is 'n Cauchy-spanning-dependent korreksie matriks vereis na maak die hypoelastic konstitutiewe wet \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) consistent met die raaklyn-styfheid raamwerk as 'n Truesdell-tempo-gebaseer konstitutiewe wet. Dit word verkry deur arranging die fourth-order tensor komponente \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) in \(6\times 6\) Voigt vorm as

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

Hierdie is die resulterende matriks.

Samestelling van die Globaal Styfheidsmatriks

Die globale raaklynstyfheid \(\boldsymbol{K}\) word verkry deur elke elementstyfheid te verdeel \(\boldsymbol{K}^e\) in \(d\times d\) blokke \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) vir elke paar knope en met behulp van die tweede-orde-tensor-samestellingstel \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ingestel in Samestelling van Element-Knoop- Fisies Groothede:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

Die resulterende waardes is gerangskik as 'n matriks met row \(i_g\) en column \(i_h\). In die implementering, die stel \(\mathcal{E}^2\) is nie saamgestel uitdruklik; in plaas daarvan, die ooreenstemmende blokke is bygevoeg direk binne die element lus. Die matriks is vierkant met dimension gelyk na vryheidsgrade per knoop \(\times\) totale aantal knope \(n_g\), maar omdat komponente ander as daardie tussen knope verbind deur elemente is \(0\), dit is gestoor in sparse-matrix vorm.

Die element styfheid matrikse vir die TL en UL formulerings het die dieselfde vorm except vir omskakeling die verwysing konfigurasie (knoop- koördinate en die bron gebruik na construct die B matriks) en die presence of absence van die \(\boldsymbol{G}\) matriks. FrontISTR daarom implements albei formulerings in 'n algemeen subroetine.

Iterasie Algoritme

Summarizing die hierbo, by die begin van die iterasie stel \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) en bereken die aanvanklik residu \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\). Dan, in die \(i\)-th iterasie, voer uit die volgende prosedure.

  1. By die huidige verplasing \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), bereken die raaklyn styfheid \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) met behulp van die prosedure in Konstruksie van die Raaklynstyfheidsmatriks.
  2. Na impose geometries randvoorwaardes, modify die raaklynstyfheidsmatriks en residuvektor vir die vryheidsgrade onderhewig na verplasing beperkings, verkryging \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (Hantering van Geometries Randvoorwaardes).
  3. Solve die reëlêre vergelyking \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) om te verkry die korreksie \(d\boldsymbol{u}_i\). Hierdie prosedure dikwels neem in ag vir meeste van die computational cost van die iteratiewe berekening.
  4. Werk by die verplasing inkrement as \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\), en accordingly bereken die interne-kragvektor \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) en residu \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\).
  5. Kontrole konvergensie en terminate die iterasie indien konvergensie is achieved. Komponente ooreenstemmende na beperk reactions verskyn in die residu \(\boldsymbol{R}_i\) by vryheidsgrade onderhewig na geometries randvoorwaardes, dus die konvergensie indicator is saamgestel van \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) na excluding hierdie komponente. Spesifiek konvergensie indicators en drempels is beskryf in Konvergensiekriteria. Indien konvergensie is nie achieved en die iterasie limiet is bereik, die iterasie is behandel as failed.

Wanneer die iterasie converges, voeg by die converged \(\Delta\boldsymbol{u}\) na \(\boldsymbol{u}_n\) om te verkry die accumulated verplasing by tyd \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), en proceed na die volgende tydstap.

Verwante onderwerpe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status