Slaan oor na inhoud

Tensornotasie en wiskundige grondbeginsels

Hierdie hoofstuk versamel die konvensies vir tensor-, indeks- en Voigt-notasie wat in die daaropvolgende hoofstukke van die FrontISTR-teoriehandleiding gebruik word. Slegs suiwer notasiereëls wat onafhanklik van die definisie van fisiese groothede is, word hier behandel. Simboolkonvensies wat van die konfigurasie (verwysings-/huidige) by kontinuumbeweging afhanklik is—soos die gebruik van hoof-/kleinletters en die onderskeid tussen materiaal- en ruimtelike afgeleides—word in Beweging, vervorming en rek behandel, waar die konfigurasiebegrip ingevoer word.

Tensornotasie

Vetdruknotasie vir vektore en tensore

As tipografiese beginsel word skalare en komponente van vektore/tensore in gewone skrif geskryf (bv. \(\rho\), \(x_i\)), terwyl die vektor-/tensorgroothede self in vetdruk geskryf word (bv. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einstein-sommasiekonvensie

Tensy anders vermeld, word die Einstein-sommasiekonvensie toegepas: wanneer dieselfde indeks twee keer in dieselfde term voorkom, word oor daardie indeks gesommeer. Byvoorbeeld,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

en vir die tensore \(\boldsymbol{A}\) en \(\boldsymbol{B}\) is die produk \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) se \(i,j\)-komponent

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Volgens die indekskonvensie dui \(i, j, k, l, \ldots\), tensy anders vermeld, indekse vir vryheidsgrade aan (in 3D \(1, 2, 3\)), terwyl klein Griekse letters \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) indekse vir die nodusse waaruit ’n element bestaan aandui.

Inwendige produk, transponering en tensorproduk

Die getransponeerde van tensor \(\boldsymbol{A}\) word as \(\boldsymbol{A}^T\) aangedui. Die inwendige produk (dubbele kontraksie) van tweede-orde tensore \(\boldsymbol{A}\) en \(\boldsymbol{B}\) word geskryf as

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Die inwendige produk van vektore \(\boldsymbol{a}\) en \(\boldsymbol{b}\) is \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), en die tensorproduk is \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-notasie

Spanning en rek is simmetriese tweede-orde tensore ten opsigte van die vryheidsgrade, terwyl die koëffisiënt wat die lineêre verwantskap tussen hulle beskryf ’n vierde-orde tensor is. Om dit direk in ’n program te hanteer is nadelig uit ’n berekenings- en programmeringsoogpunt (multidimensionele skikkings en diep geneste lusse); daarom word in algemene eindige-elementprogramme, met inagneming van simmetrie, spanning en rek tot kolomvektore saamgepers en die vierde-orde elastisiteitstensor tot ’n tweedimensionele matriks. Dit word Voigt-notasie genoem.

Hierna word die matriks-/vektorvoorstelling van die tensorgrootheid \(\boldsymbol{A}\) as \(\hat{A}\) aangedui om dit van die oorspronklike tensor te onderskei.

Vektornotasie van spanning en rek

Vir die simmetriese spanningstensor \(\boldsymbol{\sigma}\) en rektensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\), in twee dimensies

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

en in drie dimensies

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

word hulle soos hierbo as kolomvektore hanteer. Dieselfde reël geld vir afgeleide groothede soos variasies en differensiale. Let daarop dat die skuifkomponente aan die rekkant ’n faktor 2 het (nie aan die spanningkant nie). Hierdie asimmetrie laat die tensor-inwendige produk as ’n vektor-inwendige produk skryf

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

in ’n kompakte vorm. In implementering kan die faktor 2 vir skuifrekkomponente maklik verwar word; hou dus altyd die konvensie “nie by spanning nie / wel by rek” in gedagte. Presies dieselfde Voigt-konvensie geld vir groothede in die verwysingskonfigurasie (tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\)).

Matriksnotasie van ’n vierde-orde tensor

Vir die lineêre verwantskap tussen spanning en rek \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (in komponente \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), kan die simmetrie van \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gebruik word om dit te herskryf as

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

In drie dimensies, wanneer \(\tilde{C}\) as ’n 6×6-materiaalmatariks \(\hat{\tilde{C}}\) gerangskik word, word die oorspronklike tensorverwantskap

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Hierna word die materiaalmatrix in hierdie handleiding, tensy anders vermeld, as \(D\) (of \(\hat{C}\)) aangedui. Vir die spesifieke komponente van isotropiese lineêre elastisiteit, sien Lineêre elastisiteit.

Konvensies vir differensiaaloperatore

Simmetriese gradiëntoperator

Vir ’n vektorveld \(\boldsymbol{u}\) word die simmetriese gradiëntoperator \(\nabla_S\) gedefinieer as

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

In komponentvorm is \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Die klein-vervormingsrek \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) kan kompak met hierdie operator uitgedruk word. Die keuse van die konfigurasie (verwysings-/huidige) waarin die gradiënt vir eindige vervorming geneem word, word in Beweging, vervorming en rek behandel.

Materiaaltydafgeleide

Die materiaaltydafgeleide van ’n grootheid \(A\) (die tydafgeleide wat dieselfde materiaalpunt volg) word met ’n oorpunt as \(\dot{A}\) aangedui:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Snelheid en versnelling volg hierdie konvensie.

Verwante onderwerpe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status