Warmtegeleiding Vergelyking¶

Hierdie hoofstuk som op die beheerende vergelyking van warmtegeleiding addressed deur FrontISTR by die kontinuum level en sy randvoorwaardes. Tyd diskretisering en FEM diskretisering is linker na die diskretisering afdeling (L3d) en die oplossingsalgoritme afdeling (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Beheerende vergelyking¶

Die warmtegeleiding vergelyking in 'n kontinuum is gegee soos volg.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Hier, \(\rho=\rho(x)\) denotes massa digtheid, \(c=c(x,T)\) spesifieke warmte, \(T=T(x,t)\) temperatuur, \(k=k(x,T)\) termiese geleidingsvermoë, \(Q=Q(x,T,t)\) warmte generering, \(x\) posisie, en \(t\) tyd. \(k_x, k_y, k_z\) is die termies conductivities in die respective rigtings vir anisotroop warmtegeleiding.

Vir spesifiek termiese eienskappe, insluitend temperatuur afhanklikheid en anisotropie, sien Termiese eienskappe.

Randvoorwaardes¶

Stel die domein onder consideration wees \(S\), met sy rand denoted deur \(\Gamma\). Assuming dat óf 'n Dirichlet-tipe of 'n Neumann-tipe randvoorwaarde is voorgeskrewe everywhere op \(\Gamma\), die randvoorwaardes is gegee soos volg.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Hier, die funksionele vorms van \(T_1\) en \(q\) is aangeneem na wees bekend. \(q\) is die warmtevloed leaving die rand. Die rand warmtevloed \(q\) bestaan van die volgende drie komponente.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Hier, \(q_s\) is die verspreid warmtevloed, \(q_c\) is die warmtevloed weens na konvektiewe warmte-oordrag, en \(q_r\) is die warmtevloed weens na stralings warmte-oordrag.

Hier, \(Tc=Tc(x,t)\) is die omgewingstemperatuur vir konvektiewe warmte-oordrag, \(hc=hc(x,t)\) is die konvektiewe warmte-oordrag koëffisiënt, \(Tr=Tr(x,t)\) is die omgewingstemperatuur vir stralings warmte-oordrag, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) is die stralings warmte-oordrag koëffisiënt, \(\varepsilon\) is die emissivity, \(\sigma\) is die Stefan-Boltzmann-konstante, en \(F\) is die view faktor.

Vir hoe om te spesifiseer hierdie voorwaardes in 'n invoerlêer, sien Randvoorwaardes en Laste in die funksie verwysing.

Swak Vorm¶

Koppeling met Struktuuranalise¶

Verwante onderwerpe¶

Oorgang Warmtegeleiding — Tyd diskretisering en nie-lineêr iterasie
Termiese eienskappe — Formulering van materiaaleienskappe en temperatuur afhanklikheid
Vormfunksies en Eindig Element Benadering — Raamwerk vir FEM diskretisering
Funksie verwysing: Randvoorwaardes en Laste — Boundary-voorwaarde invoer vir warmtegeleidingsanalise