Slaan oor na inhoud

Beginsel van virtuele arbeid

Gebaseer op die ewewig vergelyking en randvoorwaardes afgelei in Spanning en Behoud Wette, ons derive die beginsel van virtuele arbeid, wat is die swak vorm van die kontinuum-meganika randwaarde probleem. Eindig element diskretisering begin van hierdie swak vorm. Hierdie hoofstuk presents albei die huidige-konfigurasie vorm (uitgedruk met behulp van Cauchy spanning en die lineêr deel van Almansi vervorming) en die verwysing-konfigurasie vorm (uitgedruk met behulp van die tweede Piola-Kirchhoff spanning en Green-Lagrange vervorming), demonstrates hul equivalence, en dan confirms die vermindering na klein vervorming.

Ewewig Vergelyking en Randvoorwaardes

Stel \(\boldsymbol{g}\) wees die liggaamskrag werkende op die kontinuum per eenheid massa, en oorweeg 'n liggaam occupying die domein \(\Omega\) in die huidig konfigurasie. Die rand \(\Gamma\) is verdeel in die geometries rand op wat verplasing is voorgeskrewe as \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), en die meganiese rand op wat oppervlakkrag is voorgeskrewe as \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), met \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) en \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Vir 'n staties probleem, die ewewig vergelyking word verkry deur omitting die inertial term van die momentum behoud wet getoon in Spanning en Behoud Wette:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Die randvoorwaardes is

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Hereafter, die beginsel van virtuele arbeid is afgelei as die swak vorm van die ewewig vergelyking en die meganiese randvoorwaarde \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Die geometries randvoorwaarde \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) is ingesluit deur die keuse van toets funksie.

Swak Vorm in die Huidig Konfigurasie

In die swak vorm, definieer die admissible ruimte vir die unknown verplasing en die toets-funksie ruimte, onderskeidelik, as

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Hier, \(d\) is die spatial dimension, \(H^1(\Omega)\) is die Sobolev ruimte van funksies vierkant-integrable saam met hul eerste swak derivatives, en \(\delta\) denotes variasie. In die huidige-konfigurasie voorstelling, \(\Omega\) is die vervormde konfigurasie; in 'n werklike numeries oplossing, dit is pulled back na die verwysing konfigurasie of na 'n bekend intermediate konfigurasie.

Multiplying die ewewig vergelyking deur die weight \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) en toepassing die Gauss divergence theorem en die meganiese randvoorwaarde gee die volgende beginsel van virtuele arbeid in die huidig konfigurasie.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Hier, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) is die lineêr deel van die Almansi vervormingstensor, gedefinieer deur

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Sy variasie is \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Dus, ons seek \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) sodanige dat die virtual-work vergelyking is bevredig vir elke \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Die links-hand kant is die virtuele arbeid van interne kragte, terwyl die regterkant kant is die virtuele arbeid van eksterne kragte weens na voorgeskrewe oppervlakkrag en liggaamskrag.

Omdat hierdie vergelyking is geskryf oor die vervormde (huidige-konfigurasie) domein, 'n werklike oplossing prosedure reselects die aanvanklik konfigurasie \(\Omega_0\) (verwysing konfigurasie) of 'n bekend intermediate konfigurasie as die verwysing konfigurasie, rewrites die vergelyking in inkrementeel vorm, en dan solves dit. Sien Raamwerk vir Inkrementeel Analise vir die spesifiek keuse van verwysing konfigurasie (Totale Lagrange / Bygewerk Lagrange) en die inkrementeel decomposition.

Swak Vorm in die Aanvanklik Konfigurasie

Oorweeg 'n liggaam occupying die domein \(\Omega_0\) in die verwysing konfigurasie, met rand \(\Gamma_0\) verdeel in \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Pulling die huidige-konfigurasie voorstelling back na die verwysing konfigurasie gee die conjugate spanning-vervorming paar van die tweede Piola-Kirchhoff spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange vervorming \(\boldsymbol{E}\). Die beginsel van virtuele arbeid in die aanvanklik konfigurasie is dan

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Hier, \(\rho_0\) is die massa digtheid in die verwysing konfigurasie, en deur die massa-behoud verhouding \(\rho_0 = J\rho\), hierdie is ekwivalent na die body-krag voorstelling in die huidig konfigurasie.

Equivalence van die Huidige- en Initial-Konfigurasie Voorstellings

Die virtuele arbeid van interne kragte in die twee voorstellings coincides deur die transformation deur die vervorming gradiënt \(\boldsymbol{F}\) en die volume verhouding \(J = \det \boldsymbol{F}\); naamlik,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Die external-krag terme is ook ekwivalent deur massa behoud en oppervlakkrag transformation. Daarom, die virtual-work vergelyking in die huidig konfigurasie en dat in die aanvanklik konfigurasie druk uit die dieselfde beginsel in verskillende konfigurasies. 'N oplossing metode referring na die verwysing konfigurasie stem ooreen na die Totale Lagrange metode, terwyl 'n oplossing metode referring na die huidig konfigurasie (die immediately voorafgaande converged konfigurasie) stem ooreen na die Bygewerk Lagrange metode.

Vermindering na Klein vervorming

Onder die kleinvervorming aannames \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) en \(J \approx 1\), die distinction tussen die huidig en verwysing konfigurasies disappears, die tweede PK spanning coincides met die Cauchy spanning (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), en albei die Green-Lagrange vervorming en die lineêr deel van die Almansi vervorming verminder na die infinitesimaal vervorming \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Die beginsel van virtuele arbeid dan reduces na die swak vorm uitgedruk in terme van die Cauchy spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en infinitesimaal vervorming \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Hierdie is die swak vorm gebruik direk vir diskretisering in kleinvervorming lineêr-elastiese statiese analise (Lineêr Elasties Statiese analise (Inleiding en Appendix) begin van hierdie vorm en toon die konstruksie van die element styfheid \(\boldsymbol{K}^e\) deur samestelling van die globaal vergelyking \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Deur in te vul die lineêr-elastiese konstitutiewe wet \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) en skryf \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) in Voigt notasie, die swak vorm word

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

wat het hierdie vorm.

Verwante onderwerpe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status