Spanning en Behoudswette¶
Hierdie hoofstuk orden die definisies en onderlinge verhoudings van spanningstensore, tesame met die ewewigsvergelykings en spanningsimmetrie wat uit behoud van massa, lineêre momentum en hoekmomentum afgelei word. Die drie spanningstensore—Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\), eerste Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{P}\) en tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\)—word ingevoer volgens watter konfigurasie vir die verwysingsoppervlak en kragvektor gebruik word. Sien Beweging, Vervorming en Rek vir definisies van konfigurasie, beweging en die vervormingsgradiënt, en Lys van Simbole vir Fisiese Groothede vir die simboollys.
Cauchy-spanningstensor¶
Laat \(d\boldsymbol{f}\) die krag wees wat op ’n infinitesimale oppervlak by ’n punt \(\boldsymbol{x}\) in die huidige konfigurasie inwerk (oppervlakte \(d\Gamma\), uitwaartse eenheidsnormaal \(\boldsymbol{n}\)), en definieer die trekkragvektor \(\boldsymbol{t}\) as die krag per oppervlakte-eenheid deur \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) hang van sowel die posisie \(\boldsymbol{x}\) as die normaal \(\boldsymbol{n}\) af. Toepassing van momentumbehoud op ’n infinitesimale tetraëder toon dat \(\boldsymbol{t}\) lineêr in \(\boldsymbol{n}\) is, sodat daar ’n tweede-orde tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) bestaan waarvoor
vir enige \(\boldsymbol{n}\) geld (Cauchy se spanningstelling). Hierdie tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) word die Cauchy-spanningstensor genoem, en ook ware spanning, omdat dit krag per oppervlakte-eenheid relatief tot die geometrie van die huidige konfigurasie voorstel. Die komponent \(\sigma_{ij}\) verteenwoordig die \(x_i\)-komponent van die krag per oppervlakte-eenheid wat op ’n infinitesimale oppervlak normaal op die koördinaatas \(x_j\) in die huidige konfigurasie inwerk.
Soos later uit behoud van hoekmomentum getoon word, is Cauchy-spanning ’n simmetriese tensor:
In drie dimensies het dit dus ses onafhanklike komponente (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorisering van spanning in Voigt-notasie veronderstel hierdie simmetrie (sien Tensornotasie en Wiskundige Grondslae). Cauchy-spanning word gebruik vir spanningsuitvoer in FrontISTR se geometries nie-lineêre analise met die Updated Lagrange-metode en in kleinvervormingsanalise.
Eerste en Tweede Piola-Kirchhoff-spannings¶
By eindige vervorming is dit dikwels gerieflik om spanning met verwysing na oppervlaktes en vektore in die verwysingskonfigurasie uit te druk; daarom word twee Piola-Kirchhoff-spanningstensore ingevoer. Laat die oppervlakte van ’n infinitesimale oppervlak in die verwysingskonfigurasie \(d\Gamma_0\) wees en sy uitwaartse eenheidsnormaal \(\boldsymbol{N}\).
Die eerste Piola-Kirchhoff-spanning (eerste PK-spanning, nominale spanning) \(\boldsymbol{P}\) word gedefinieer as die spanningstensor wat verkry word wanneer die krag \(d\boldsymbol{f}\) in die huidige konfigurasie op ’n infinitesimale oppervlak in die verwysingskonfigurasie toegepas word:
Met Nanson se formule \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) saam met Cauchy se spanningstelling word die verhouding tot Cauchy-spanning verkry:
Die eerste PK-spanning is oor die algemeen nie simmetries nie.
Die tweede Piola-Kirchhoff-spanning (tweede PK-spanning) \(\boldsymbol{S}\) word gedefinieer as die spanningstensor wat verkry word deur die huidige-konfigurasiekrag \(d\boldsymbol{f}\) met \(\boldsymbol{F}^{-1}\) na die verwysingskonfigurasie terug te trek en dit op ’n infinitesimale oppervlak in die verwysingskonfigurasie toe te pas:
Sowel die kragvektor as die oppervlak waarop dit inwerk, word in verwysingskonfigurasiegroothede uitgedruk, wat dit invariant teenoor starreliggaamrotasie en simmetries maak. Die verhouding tot die eerste PK-spanning en die transformasie vanaf Cauchy-spanning is
Die tweede PK-spanning word uit ’n hiperelastiese rekenergie-funksie \(W(\boldsymbol{C})\) afgelei as \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) en word in die Total Lagrange-metode saam met die Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) as die werksgekonjugeerde paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) gebruik.
Die verwysingskonfigurasies en simmetrie-eienskappe word hieronder opgesom. In die kleinvervormingslimiet (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) val die drie spannings saam.
| Spanningstensor | Verwysingsoppervlak | Kragvektor | Simmetrie | Toepassing |
|---|---|---|---|---|
| Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) | Huidige konfigurasie \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Huidige konfigurasie \(d\boldsymbol{f}\) | Simmetries | Updated Lagrange-metode / kleinvervormingsanalise |
| Eerste PK-spanning \(\boldsymbol{P}\) | Verwysingskonfigurasie \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Huidige konfigurasie \(d\boldsymbol{f}\) | Oor die algemeen niesimmetries | Ewewigsvergelykings in die verwysingskonfigurasie |
| Tweede PK-spanning \(\boldsymbol{S}\) | Verwysingskonfigurasie \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Verwysingskonfigurasie \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Simmetries | Total Lagrange-metode / hiperelastisiteit |
Behoud van Massa en Momentum en die Ewewigsvergelykings¶
Laat \(\rho\) die massadigtheid in die huidige konfigurasie en \(\rho_0\) die massadigtheid in die verwysingskonfigurasie wees. Die massabehoudswet \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), saam met die volume-elementtransformasie \(dv = J\, dV\), reduseer tot die plaaslike vorm
Dit is die plaaslike massabehoudsverhouding.
Laat \(\boldsymbol{g}\) die liggaamskrag per massa-eenheid en \(\boldsymbol{a}\) die versnelling wees. Toepassing van Cauchy se spanningstelling en Gauss se divergensiestelling op behoud van lineêre momentum (Euler se eerste bewegingswet) gee die plaaslike ewewigsvergelyking (bewegingsvergelyking) in die huidige konfigurasie:
Herskryf van die integraal in die verwysingskonfigurasie met Nanson se formule en \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) gee die plaaslike vorm in die verwysingskonfigurasie:
Die twee vorme is ekwivalent deur die spanningstransformasiereël en \(\rho_0 = J\rho\). As die traagheidsterm verwaarloos word, word verkry
wat die statiese ewewigsvergelyking is en die uitgangspunt vir FrontISTR se statiese analise (lineêr en nie-lineêr) vorm.
Behoud van Hoekmomentum en Spanningsimmetrie¶
Deur behoud van hoekmomentum (Euler se tweede bewegingswet) te kombineer met die ewewigsvergelyking uit behoud van lineêre momentum, word die simmetrie van die Cauchy-spanningstensor verkry:
Dit het dus ses onafhanklike komponente in drie dimensies. Deur die transponeer van beide kante van die transformasie \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) te neem en die niesingulariteit van \(\boldsymbol{F}\) te gebruik, volg dat die tweede PK-spanning ook simmetries is:
en daarom het dit ook ses onafhanklike komponente. Daarteenoor is die eerste PK-spanning \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) oor die algemeen nie simmetries nie; slegs die verhouding \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) geld (dit wil sê \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) is simmetries), en dit het nege onafhanklike komponente.
Hierdie simmetrieë vorm die grondslag vir die voorstelling van spanning as ’n seskomponentvektor in Voigt-notasie. Sien Tensornotasie en Wiskundige Grondslae en Lineêre Elastisiteit vir Voigt-notasiekonvensies en die samestelling van materiaalmatrikse.