Beweging, vervorming en rek¶

Verwysings- en huidige konfigurasie¶

Definisie van konfigurasies¶

Om te onderskei watter vorm op 'n gegewe tydstip as basis vir die beskrywing van fisiese groothede gebruik word, gebruik hierdie handleiding twee konfigurasies.

Verwysingskonfigurasie (reference configuration): die onvervormde vorm aan die begin van die analise (tyd \(0\)), ook die aanvangskonfigurasie genoem. 'n Punt in die verwysingskonfigurasie word deur die materiaalkoördinaat \(\boldsymbol{X}\) voorgestel, met volume \(V\) en oppervlak \(S\).
Huidige konfigurasie (current configuration): die vervormde vorm op tyd \(t\). 'n Punt in die huidige konfigurasie word deur die ruimtelike koördinaat \(\boldsymbol{x}\) voorgestel, met volume \(v\) en oppervlak \(s\).

Beweging word as 'n afbeelding tussen hierdie twee konfigurasies, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), voorgestel, en verplasing word as \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) gedefinieer.

Konfigurasie-afhanklike notasiekonvensie (hoof-/kleinletters)¶

Die letterkas van 'n simbool onderskei tot watter konfigurasie 'n fisiese grootheid behoort.

Groothede wat tot die verwysingskonfigurasie behoort, word met hoofletters geskryf (byvoorbeeld \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Groothede wat tot die huidige konfigurasie behoort, word met kleinletters geskryf (byvoorbeeld \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Vir groothede wat albei konfigurasies oorbrug, soos die eerste Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{P}\), word die konvensionele simbool gebruik en word dit waar nodig in die teks verduidelik.
In kleinvervormingsteorie verdwyn die onderskeid tussen die twee konfigurasies, en daarom word slegs kleinletters (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) gebruik.

Gradiënt in die verwysings- en huidige konfigurasie¶

Die simbool en betekenis verskil volgens die konfigurasie waarteen die ruimtelike afgeleide geneem word.

Verwysingskonfigurasiegradiënt \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradiënt met betrekking tot die materiaalkoördinaat. Voorbeeld: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Huidigekonfigurasiegradiënt \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradiënt met betrekking tot die ruimtelike koördinaat. Voorbeeld: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Hulle word deur \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) verbind. Vir die konvensie vir tydafgeleides (materiële tydafgeleide \(\dot{(\cdot)}\)), sien Tensornotasie en wiskundige grondbeginsels.

Beskrywing van beweging¶

Bewegingsafbeelding en materiële/ruimtelike beskrywing¶

As die kontinuum beskou word as 'n versameling materiaalpunte wat deur hul posisie \(\boldsymbol{X}\) op tyd \(0\) gemerk word, word beweging deur die afbeelding \(\phi\) beskryf, wat die materiaalpunt \(\boldsymbol{X}\) met sy posisie \(\boldsymbol{x}\) op tyd \(t\) assosieer:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Wanneer die verwysingskonfigurasie as die aanvangskonfigurasie geneem word, geld \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Twee beskrywings word onderskei volgens die keuse van onafhanklike veranderlikes.

Materiële beskrywing (Lagrange-beskrywing): fisiese groothede word as funksies van \((\boldsymbol{X}, t)\) voorgestel. In vastestofmeganika is dit 'n natuurlike keuse omdat die verwysingskonfigurasie as 'n vaste vorm gegee word.
Ruimtelike beskrywing (Euler-beskrywing): fisiese groothede word as funksies van \((\boldsymbol{x}, t)\) voorgestel. Dit word standaard in vloeimeganika gebruik.

FrontISTR se strukturele analise is hoofsaaklik op die materiële beskrywing gebaseer, maar in die Updated Lagrange-metode word die huidige konfigurasie as 'n nuwe verwysingskonfigurasie gebruik, en daarom word ruimtelik beskryfde groothede ook gebruik.

Verplasing, snelheid en versnelling¶

Verplasing \(\boldsymbol{u}\) word, soos in die vorige afdeling, deur \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) gedefinieer. Geen aanname oor die grootte daarvan word gemaak nie, en eindige vervormings word ingesluit. Die snelheids- en versnellingsvektore word as materiële tydafgeleides van \(\boldsymbol{u}\) gedefinieer terwyl dieselfde materiaalpunt gevolg word:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

en word soos hierbo gedefinieer.

Vervormingsgradiënt en vervormingstensore¶

Vervormingsgradiënttensor¶

Die fundamentele grootheid in kontinuummeganika vir eindige vervorming is die vervormingsgradiënttensor \(\boldsymbol{F}\). Dit is 'n lineêre afbeelding wat die infinitesimale lynelement \(d\boldsymbol{X}\) in die verwysingskonfigurasie na die infinitesimale lynelement \(d\boldsymbol{x}\) in die huidige konfigurasie afbeeld, en word as die gradiënt van die bewegingsafbeelding met betrekking tot die materiaalkoördinaat gedefinieer:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). In die onvervormde toestand is \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) word wyd gebruik in die definisie van rek en spanning en vir die transformasie van fisiese groothede tussen konfigurasies.

Volumeveranderingsverhouding¶

Die verhouding tussen die infinitesimale volume \(dV\) in die verwysingskonfigurasie en die infinitesimale volume \(dv\) in die huidige konfigurasie word die volumeveranderingsverhouding \(J\) genoem:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Uit die omkeerbaarheid van die kontinuum word \(J > 0\) aanvaar. Massabehoud word as \(\rho_0 = J\rho\) geskryf.

Regter- en linker-Cauchy-Green-vervormingstensore¶

Omdat die vervormingsgradiënt \(\boldsymbol{F}\) starliggaamrotasie bevat, word 'n grootheid waaruit starliggaamrotasie verwyder is, as maatstaf van die vervorming self gebruik. Die regter-Cauchy-Green-vervormingstensor \(\boldsymbol{C}\) (verwysingskonfigurasie) en linker-Cauchy-Green-vervormingstensor \(\boldsymbol{b}\) (huidige konfigurasie) word gedefinieer as

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Albei is simmetriese tensore en het dieselfde eiewaardes (die kwadrate van die hoofstrekverhoudings). Die hoofinvariante van die hiperelastiese rekenergiefunksie word met hierdie tensore gegee.

Rektensore¶

Green-Lagrange-rektensor¶

As rekmaatstaf ten opsigte van die verwysingskonfigurasie word die Green-Lagrange-rektensor \(\boldsymbol{E}\) gedefinieer as

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Dit is 'n simmetriese tensor wat die verandering in die inproduk van infinitesimale vektore in die verwysingskonfigurasie voorstel, is invariant teen starliggaamrotasie, en is \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) in die onvervormde toestand. Met \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\),

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

word dit as die som van die eerste- en tweede-ordeterme van die verplasingsgradiënt uitgedruk, en die tweede-ordeterm stel geometriese nielineariteit voor. In die Total Lagrange-metode word dit as die spanningskonjugaatpaar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) gebruik.

Almansi-rektensor¶

As rekmaatstaf ten opsigte van die huidige konfigurasie word die Almansi-rektensor \(\boldsymbol{e}\) gedefinieer as

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Dit is aan die Green-Lagrange-rek verwant deur \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pullback).

Infinitesimale rektensor¶

Wanneer die verplasingsgradiënt klein is (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kan die tweede-ordeterm van die Green-Lagrange-rek verwaarloos word, en omdat die onderskeid tussen die twee konfigurasies verdwyn, reduseer dit tot die infinitesimale rektensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\) met die gradiënt in ruimtelike koördinate:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR se lineêre statiese analise, modale analise, frekwensieresponsanalise en lineêre dinamiese analise gebruik hierdie rekmaatstaf. In eindige-vervormingsanalise gebruik die Total Lagrange-metode \(\boldsymbol{E}\), terwyl die Updated Lagrange-metode die vervormingstempotensor \(\boldsymbol{D}\) ten opsigte van die huidige konfigurasie gebruik.