Numeriese Integrasie¶

Die element-internekragvektore \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) en elementstyfheidsmatriks \(\boldsymbol{K}^e\) wat in Diskretisering van Interne Virtuele Arbeid en Eksterne Virtuele Arbeid en Samestelling van die Globale Vergelyking verkry is, het die vorm van integrale oor die elementdomein \(\Omega^e\) of \(\Omega^e_0\). FrontISTR evalueer dit numeries met Gauss-kwadratuur.

Gauss-kwadratuur en Verandering van Veranderlikes¶

Gauss-kwadratuur benader ’n integraal oor die verwysingsdomein \(\Xi\) deur ’n lineêre kombinasie van die integrandwaardes by integrasiepunte \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) en gewigte \(w_i\). Toepassing op die elementdomein \(\Omega^e\) behels ’n verandering van veranderlikes deur die afbeelding \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), wat gee

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

waar \(n_q\) die aantal integrasiepunte is en \(J_{\xi_i}\) die determinant van die transformasie-Jakobiaan is. Die verwysingsdomein \(\Xi\) word vir elke elementtipe gedefinieer (vir ’n heksaëder \([-1,1]^3\); vir driehoeke, tetraëders en wigvorms die ooreenstemmende verwysingsvorms), en die integrasiepunte \(\boldsymbol{\xi}_i\) en gewigte \(w_i\) word as numeriese tabelle gegee. Oppervlakintegrale word in dieselfde vorm behandel deur ’n elementvlak vanaf ’n tweedimensionele verwysingsdomein af te beeld.

Verteenwoordigende aantalle integrasiepunte wat deur FrontISTR gebruik word, word hieronder getoon (vir die ooreenstemming met elementtipes, sien Elementnommerstelsel en Vormfunksiebiblioteek).

Elementtipe	Kwadratuurreël	Aantal integrasiepunte
4-node tetraëder (`tet4n`)	1-puntreël	1
10-node tetraëder (`tet10n`)	4-puntreël	4
6-node driehoekprisma (`prism6n`)	2-puntreël	2
15-node driehoekprisma (`prism15n`)	9-puntreël	9
8-node heksaëder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-node heksaëder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-node vierhoek (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-node vierhoek (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-node driehoek (`tri3n`)	1-puntreël	1
6-node driehoek (`tri6n`)	3-puntreël	3

Vir heksaëder-, vierhoek- en lynelemente word tensorprodukte van die Gauss-Legendre-reël in elke koördinaatrigting gebruik. Driehoeke, tetraëders en driehoekprismas gebruik toegewyde reëls wat vir simpleks-tipe geometrieë geskik is (puntopstellings wat polinome presies oor die driehoek self integreer).

Toepassing op Elementintegrasie¶

By elementintegrasie word die natuurlike koördinate \(\boldsymbol{r}\) as die koördinate van die verwysingsdomein gebruik (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), en die afbeelding na fisiese koördinate word deur nodale-koördinaatinterpolasie met die vormfunksies gegee. Afhangend van die keuse van verwysingskonfigurasie (Raamwerk vir Inkrementele Analise), word die volgende formulerings gebruik.

Total Lagrange-metode (integrasie oor die verwysingskonfigurasie \(\Omega^e_0\)): die afbeelding en Jakobiaan is

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

en die element se interne krag en styfheidsmatriks word benader as

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Al \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) word by die integrasiepunt \(\boldsymbol{r}_i\) geëvalueer.

Updated Lagrange-metode (integrasie oor die huidige konfigurasie \(\Omega^e\)): die afbeelding en Jakobiaan is

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

word as die benaderings gebruik.

Die enigste verskil tussen die twee formulerings is of die nodale koördinate wat aan die afbeelding verskaf word \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) of \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) is; die integrasiepunte, gewigte en struktuur van die integrasiepuntlus is dieselfde.

Volle Integrasie en Gereduseerde Integrasie¶

Integrasie wat genoeg integrasiepunte gebruik om die polinoomgraad van die integrand presies te integreer, word volle integrasie genoem, terwyl integrasie met een vlak minder integrasiepunte gereduseerde integrasie genoem word. Gereduseerde integrasie word gebruik om skuif- en volumetriese sluiting te verlig, maar vereis behandeling van valse vervormingsmodusse soos uurglasmodusse. Die aantal integrasiepunte vir elke elementtipe en die keuse tussen volle en gereduseerde integrasie word behandel in Elementnommerstelsel en Vormfunksiebiblioteek en daaropvolgende afdelings, asook in Gevorderde Elementformulerings.

Verwante Onderwerpe¶

Ruimtelike Afgeleides van Vormfunksies — Berekening van die Jakobiaan
Diskretisering van Interne Virtuele Arbeid — Groothede wat deur numeriese integrasie geëvalueer word
Gevorderde Elementformulerings — Gebruik van gereduseerde integrasie