Slaan oor na inhoud

Virtuele arbeid van Eksterne kragte en Samestelling van die Globaal Vergelykings

In Diskretisering van die Virtuele arbeid van Interne kragte, die links-hand kant van die swak vorm was verminderde na die element interne-kragvektor \(\boldsymbol{q}^e\) (UL metode) of \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL metode). Hierdie hoofstuk introduces die element knoop- eksterne-kragvektor \(\boldsymbol{F}^e\) van die virtuele arbeid van eksterne kragte, dan geld die samestelling operation dat reorders en accumulates element knoop- groothede deur globaal knoopnommer, ultimately verkryging die nie-lineêr stelsel van vergelykings in knoop- verplasings opgelos deur FrontISTR nie-lineêr struktuuranalise.

Element Decomposition van die Virtuele arbeid van Eksterne kragte

Die regterkant kant van die Beginsel van virtuele arbeid kan wees decomposed element deur element in die virtuele arbeid van eksterne kragte consisting van liggaamskragte en voorgeskrewe oppervlak tractions op meganiese grense. Na skryf die verplasing interpolasie ingestel in Vormfunksies en Eindig Element Benadering in matriks vorm, definieer die \(\alpha\) blok \(N_\alpha^e\) met die vormfunksie \(d \times d\) van knoop \(\boldsymbol{N}_\alpha\) op die diagonal, en vorm \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), dus dat \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Deur in te vul hierdie in die virtuele arbeid van eksterne kragte geskryf in die verwysing konfigurasie gee

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

waar die element knoop- eksterne-kragvektor is gerangskik as \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Dus die virtuele arbeid van eksterne kragte is verminderde na die dieselfde "element knoop- vektor × toets funksie" vorm as die internal-krag kant (wanneer geskryf in die huidig konfigurasie, die dieselfde vorm word verkry deur die substitutions \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), en \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Samestelling van Element Knoop- Groothede

Die knoop- groothede \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) verkry vir elke element is accumulated in globaal vektore ordered deur globaal knoopnommer. Stel die globaal knoopnommer ooreenstemmende na plaaslik knoopnommer \(\Omega^e\) van element \(\alpha\) wees

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Dan 'n element knoop- grootheid is identies na die ooreenstemmende komponent van die globaal knoop- grootheid (byvoorbeeld, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Since 'n knoop \(i_g\) is generally shared deur veelvuldige elemente, definieer die stel van pare \(i_g\) waarvan globaal knoopnommer is \((e, \alpha)\) as

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Met behulp van hierdie stel na rewrite die sum as \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) gee die knoop- interne krag en globaal interne-kragvektor oor alle \(n_g\) knope:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Hier \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) is die resultant van die element knoop- interne kragte werkende by knoop \(i_g\) en is \(\boldsymbol{0}\) wanneer geen eksterne krag acts en ewewig is bevredig. Die dieselfde prosedure in die UL metode gee \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); omdat hul numeries waardes satisfy \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), die notasie \(\boldsymbol{Q}\) word gebruik hieronder except waar 'n distinction is vereis. Die globaal eksterne-kragvektor \(\boldsymbol{F}\) word verkry deur die dieselfde accumulation.

In die implementering, die stel \(\mathcal{E}(i_g)\) is nie saamgestel uitdruklik; in plaas daarvan, contributions is bygevoeg na die ooreenstemmende komponente binne die element lus.

Initialize globaal internal-kragvektor Q na 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
vir e = 1 na (aantal elemente)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Die globaal eksterne-kragvektor \(\boldsymbol{F}\) is saamgestel deur die dieselfde prosedure. Hierdie operation van adding en storing element knoop- groothede in vektore en matrikse numbered deur globaal knoopnommer is genoem samestelling. Vir tweede-orde tensors geassosieer met twee knoopnommers (sodanige as styfheid matrikse), die dieselfde tipe van samestelling word verkry met behulp van die stel \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (sien Raaklynstyfheidsmatriks vir die spesifiek konstruksie).

Nie-lineêr Vergelykings na Wees Opgelos

Deur in te vul die saamgestel intern en eksterne kragte in die Beginsel van virtuele arbeid, en met behulp van die fact dat dit holds vir enige toets funksie \(\delta\boldsymbol{u}^n\) satisfying die geometries randvoorwaardes, gee

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

In die context van inkrementeel analise (Raamwerk van Inkrementeel Analise), restore die tyd subscript \(_{n+1}\) en omit die superscript \(^n\) denoting die globaal knoop- vektor. Die vergelyking na wees opgelos is dan

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Dus die discretized randwaarde probleem van finding die knoop- verplasing \(t_{n+1}\) by tyd \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) reduces na solving hierdie nie-lineêr vergelyking in verplasing saam met die geometries randvoorwaardes. Linearisering van die vergelyking en konstruksie van die raaklynstyfheidsmatriks is beskryf in Raaklynstyfheidsmatriks, en die iteratief oplossing metode in die Newton-Raphson-metode.

Verwante onderwerpe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status