Ruimtelike afgeleides van vormfunksies¶

Die vormfunksie \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) wat in Vormfunksies en eindige-elementbenadering ingevoer is, word gegee as ’n funksie van die natuurlike koördinate \(\boldsymbol{r}\), die plaaslike koördinate van die element. Daarenteen bevat die integrande van die swak vorm, via die vervorming–verplasing-verhouding, parsiële afgeleides met betrekking tot fisiese koördinate (die verwysingskonfigurasie \(\boldsymbol{X}\) of huidige konfigurasie \(\boldsymbol{x}\)), naamlik \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) of \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Hierdie hoofstuk orden die prosedure om hierdie ruimtelike afgeleides van vormfunksies uit elementnoduskoördinate en afgeleides na natuurlike koördinate te bereken.

Uitdrukking van ruimtelike afgeleides met die kettingreël¶

Deur die kettingreël toe te pas op die interpolasieformule \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (vorige hoofstuk) en die Jacobi-matriks \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) van die afbeelding vanaf natuurlike na fisiese koördinate te gebruik, kry ons

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Hier is \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) en \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) \(n_e \times 3\)-matrikse waarin ry \(\alpha\) die parsiële-afgeleidevektor vir nodus \(\alpha\) voorstel.

Samestelling van die Jacobi-matriks¶

Deur die interpolasieformule parsiëel na \(\boldsymbol{r}\) te differensieer, kry ons

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Die Jacobi-matriks kan dus direk saamgestel word uit die elementnoduskoördinate \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) en die natuurlike-koördinaatafgeleides \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Die natuurlike-koördinaatafgeleides word deur die funksionele vorm van die vormfunksies bepaal en vooraf vir elke elementtipe geïmplementeer.

Die determinant van die Jacobi-matriks, \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\), word in numeriese integrasie gebruik om die volume-element as \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) te transformeer. As die determinant \(0\) word, is die element gedegenereer en misluk die berekening.

Berekeningsvloei¶

Uit die afleiding hierbo kan die berekening van die ruimtelike afgeleides \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) in die volgende vier stappe verdeel word.

Bereken natuurlike-koördinaatafgeleides: gebruik die elementtipe en die natuurlike koördinate \(\boldsymbol{r}\) van die evaluasiepunt as invoer en bereken die natuurlike-koördinaatafgeleidematriks \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Omdat die funksionele vorm van die vormfunksies per elementtipe verskil, vertak die verwerking volgens elementtipe.
Bereken die Jacobi-matriks: stel die Jacobi-matriks \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) saam uit die elementnoduskoördinate \(\boldsymbol{X}^e\) en \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) volgens die vergelyking in die vorige afdeling.
Bereken die inverse matriks en determinant: bereken die inverse van die Jacobi-matriks \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) en die determinant. Die determinant word as gewig in numeriese integrasie gebruik.
Bereken ruimtelike afgeleides: verkry die ruimtelike afgeleides \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) as die produk van \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) en \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Hierdie vier stappe vertak volgens elementtipe en ruimtelike dimensie (2D of 3D), maar die algehele vloei is dieselfde.

Gemeenskaplike behandeling van verwysings- en huidige konfigurasies¶

Die prosedure hierbo kan ook op die huidige konfigurasie toegepas word deur bloot \(\boldsymbol{X}^e\) met die huidige noduskoördinate \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) te vervang, waardeur die ruimtelike afgeleides \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) in die huidige konfigurasie verkry word. Dieselfde prosedure kan dus tussen die Total Lagrange- en Updated Lagrange-metodes gedeel word deur slegs die invoernoduskoördinate te verander.

Verwante onderwerpe¶

Vormfunksies en eindige-elementbenadering — Definisie van vormfunksies en elementnoduskoördinate
Diskretisering van interne kragte se virtuele arbeid — Samestelling van die B-matriks uit ruimtelike afgeleides
Numeriese integrasie — Gebruik van die Jacobi-determinant in Gauss-integrasie