Kruip¶

Hierdie hoofstuk behandel die kruipkonstitutiewe wet wat deur FrontISTR gebruik word. Sien die funksie-afdeling 03_material vir besonderhede oor keuse en invoerspesifikasie.

Kruipverskynsel en additiewe vervormingsontbinding¶

Tydafhanklike verplasing onder 'n konstante spanningstoestand is 'n verskynsel wat “kruip” genoem word.

Die visko-elastiese gedrag wat hierbo beskryf is, kan ook as 'n tipe lineêre kruipverskynsel beskou word. Hier word verskeie nie-lineêre kruipgedraginge beskryf. 'n Algemene benadering is om die konstitutiewe verhouding te vorm deur hierdie gedrag by die vervorming wat oombliklik ontstaan te voeg, en die vervorming wat ophoop terwyl 'n gegewe konstante las voortduur as die kruipvervorming \(\varepsilon^c\) te definieer. 'n Konstitutiewe verhouding wat kruip in ag neem, word gewoonlik uitgedruk met die kruipvervormingstempo \(\dot{\varepsilon}^c\), gedefinieer as 'n funksie van spanning en die totale kruipvervorming.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

As die vervorming wat oombliklik ontstaan die elastiese vervorming \(\varepsilon^e\) is, word die totale vervorming as die volgende som, insluitend die kruipvervorming, uitgedruk.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

waar

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) is die elastisiteitskoëffisiënttensor).

Norton-wet¶

As 'n spesifieke kruipkonstitutiewe wet gebruik FrontISTR die volgende Norton-model. In hierdie konstitutiewe wet word die ekwivalente kruipvervormingstempo \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) as 'n funksie van die Mises-spanning \(q\) en tyd \(t\) uitgedruk.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Hier is \(A\), \(m\), \(n\) materiaalkonstantes.

Tydintegrasie en spanningsopdatering¶

Soos met plastiese materiale moet 'n numeriese tydintegrasiemetode vir 'n konstitutiewe wet wat kruip toon, gespesifiseer word. Die konstitutiewe verhouding wanneer kruip in ag geneem word, is

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

waar \(\beta_{n+\theta}\)

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

is. Die kruipvervormingsinkrement \(\Delta \varepsilon^c\) word verder deur die vereenvoudigde nie-lineêre vergelyking

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

gegee.

In Newton-Raphson-iterasieberekening, met \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) as die beginwaarde en die vervormingsinkrement wat uit die eindige-elementmetode verkry word, word die iteratiewe oplossing en inkrementoplossing deur die volgende vergelyking gegee.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

waar

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

is. Wanneer iterasie uitgevoer word totdat die residu \(R\) \(\mathbf{0}\) word, word die spanning \(\sigma_{n+1}\) en die tangensiële modulus

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

gebruik.

Verwante items¶

Visko-elastisiteit — visko-elastiese gedrag wat met lineêre kruip ooreenstem
Tangensiële styfheidsmatriks — tangensiële styfheid vir inkrementele analise wat kruip insluit
Materiaaldata (funksies) — parameterspesifikasie vir die Norton-model