Slaan oor na inhoud

Lineêre elastisiteit

Hierdie hoofstuk behandel die konstitutiewe wet (Hooke se wet) vir lineêr-elastiese materiale. Raadpleeg die funksie-afdeling 03_material vir besonderhede oor modelkeuse en invoerspesifikasies.

Verskynsel (lineêr-elastiese respons)

’n Lineêr-elastiese liggaam is ’n materiaal wat, binne ’n gebied waar die rek onder belasting voldoende klein is, ’n lineêre verhouding tussen spanning en rek en ’n omkeerbare, geskiedenisonafhanklike respons toon waarin alle rek by ontlasting na die oorspronklike toestand terugkeer. Anders as plastisiteit of creep het dit geen interne veranderlikes wat die toestand voorstel nie (soos plastiese rek of viskose rek), en die spanning word uniek slegs deur die huidige rek bepaal.

In die kleinvervormingsgebied word die Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en infinitesimale rek \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gebruik; in die eindige-vervormingsgebied (probleme wat groot rotasies insluit maar waarin die rek self klein is) word die tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) gebruik (St.Venant-Kirchhoff-materiaal).

Konstitutiewe wet

Isotropiese lineêr-elastiese materiaal

In die kleinvervormingsgebied word die isotropiese Hooke-wet met die Lamé-konstantes \(\lambda, \mu\) soos volg uitgedruk:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

In komponentvorm:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

en dubbele kontraksie met die rek gee \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Die Lamé-konstantes hou soos volg verband met Young se modulus \(E\) en Poisson se verhouding \(\nu\):

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

In Voigt-notasie word die verband tussen die rekvektor \(\hat{\varepsilon}\) en spanningsvektor \(\hat{\sigma}\) geskryf as \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), en die driedimensionele materiaalmatrix \(D\) is

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Hierdie matriksvoorstelling word in die implementering gebruik.

Ortotropiese lineêr-elastiese materiaal

Vir materiale waarvan die elastiese konstantes volgens hoofasrigting verskil, word ’n ortotropiese model met nege onafhanklike konstantes gebruik: Young-moduli in die hoofasrigtings \(E_1, E_2, E_3\), Poisson-verhoudings tussen die hoofasse \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), en skuifmoduli \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Raadpleeg standaardverwysings vir die eksplisiete vorm van die \(D\)-matriks.

Eindige-vervormingsgebied: St.Venant-Kirchhoff-materiaal

Vir probleme wat groot rotasies insluit maar waarin die rek self klein is, word die St.Venant-Kirchhoff-materiaal gebruik as ’n lineêr-elastiese wet wat die tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) verbind:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Die definisies van die Lamé-konstantes \(\lambda, \mu\) is dieselfde as in die kleinvervormingsgeval. Let egter daarop dat dit, omdat die definisies van die spanning-rek-paar verskil, ’n ander konstitutiewe wet as Hooke se wet vir klein vervorming is.

Hipoelastiese materiaal

In die Updated Lagrange-metode word ’n hipoelastiese materiaal gebruik wat die lineêr-elastiese wet tussen die Jaumann-tempo van die relatiewe Kirchhoff-spanningstensor \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) en die vervormingstempotensor \(\boldsymbol{D}\) aanneem:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Ook hier is die definisie van \(\boldsymbol{C}\) in terme van die Lamé-konstantes dieselfde as hierbo, maar omdat die spanning-rek-paar verskil, is dit ’n ander konstitutiewe wet. Vir besonderhede oor hoe \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) deur die tydintegrasieprosedure (voorwaartse Euler-integrasie en sentrale-verskilbenadering) bygewerk word, sien tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reduksie vir tweedimensionele ontleding en dopelemente

Vlakspanning (\(\sigma_{33} = 0\))

Vir vlakspanning, wat die belasting van dun plate en doppe voorstel, word \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) aanvaar, die buitevlak-rekkomponent \(\varepsilon_{33}\) algebraïes geëlimineer, en die resulterende \(D\) gebruik:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Vlakrek (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Vir vlakrek, wat die dwarssnit van ’n lang struktuur voorstel wat in die dikterigting beperk is, word \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) aanvaar:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

As-simmetries

In as-simmetriese ontleding, wat probleme in silindriese koördinate \((r, \theta, z)\) behandel wat in die \(\theta\)-rigting uniform is, word die vier komponente \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) en \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) behou, en

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

word verkry.

Dopelemente (vlakspanning + dwarsskuif)

Vir dopelemente word die in-vlak-spanning as vlakspanning behandel, en vir die dwarsskuifrekkomponente \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) word die skuifkorreksiefaktor \(\kappa\) (gewoonlik \(\kappa = 5/6\)) toegepas om \(\kappa\, G\) te gebruik. Vir die gedetailleerde formulering van elke element, sien Gevorderde elementformulerings. Die spesifikasie in die funksie-afdeling 03_material dat "dopelemente slegs lineêre elastisiteit ondersteun" berus op hierdie vereenvoudiging om die in-vlak-toestand as vlakspanning te behandel.

Temperatuurafhanklikheid

Young se modulus \(E\), Poisson se verhouding \(\nu\) en die lineêre-uitsettingskoëffisiënt \(\alpha\) word gewoonlik as funksies van temperatuur \(T\) gespesifiseer. In FrontISTR word waardes vir ’n eindige reeks temperatuurpunte \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) ingevoer, en die waarde by temperatuur \(T\) tydens berekening word deur lineêre interpolasie tussen aangrensende punte bepaal. Vir temperature buite die reeks (\(T < T_1\) of \(T > T_n\)) word die waarde by die naaste eindpunt, \(T_1\) of \(T_n\), vir ekstrapolasie gebruik (konstante ekstrapolasie).

Vir die temperatuurafhanklikheid van termiese en hittegeleidingseienskappe (digtheid, spesifieke warmte en termiese geleidingsvermoë), sien Termiese eienskappe. Die interpolasiereëls is gemeenskaplik aan hierdie eienskappe.

Verwante onderwerpe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status