Slaan oor na inhoud

Lineêr Elasties Statiese analise (Inleiding)

Hierdie afdeling presents die formulering van elasties statiese analise gebaseer op infinitesimaal vervorming teorie. Reëlêre elastisiteit is aangeneem vir die spanning-vervorming verhouding. Hierdie hoofstuk is bedoel as 'n inleiding vir understanding die algeheel struktuur van eindige-element struktuuranalise en is organized as 'n self-contained hoofstuk.

Vir die algemeen teorie van die beginsel van virtuele arbeid (huidige-konfigurasie vorm, initial-konfigurasie vorm, en vermindering na infinitesimaal vervorming), sien Beginsel van virtuele arbeid; vir besonderhede van die lineêr-elastiese konstitutiewe wet, sien Reëlêre elastisiteit; vir conventions van tensor en Voigt notasie, sien Tensor Notasie en Wiskundige Foundations; vir die algemeen formulering van eindig vervorming, sien Beweging, Vervorming, en Vervorming; en vir oplossing metodes vir nie-lineêr probleme, sien Raaklynstyfheidsmatriks.

Basiese Vergelykings

Onder die aannames van infinitesimaal vervorming en reëlêre elastisiteit, die randwaarde probleem in vastestof meganika bestaan van die ewewig vergelyking, meganiese randvoorwaardes, en geometries randvoorwaardes (essential randvoorwaardes) (sien Figuur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hier, \(\boldsymbol{\sigma}\) is die Cauchy spanning, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) is die liggaamskrag per eenheid volume, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) is die voorgeskrewe oppervlak oppervlakkrag, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) is die voorgeskrewe verplasing, en \(S_t, S_u\) is die meganiese en geometries grense.

Randwaarde probleem in vastestof meganika (infinitesimaal-vervorming probleem)

Figuur 2.1.1 Randwaarde probleem in vastestof meganika (infinitesimaal-vervorming probleem)

Met behulp van die simmetries gradiënt operator, die vervorming-verplasing verhouding is

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Die lineêr-elastiese konstitutiewe vergelyking is

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

waar \(\boldsymbol{C}\) is die fourth-order elastisiteit tensor.

Beginsel van virtuele arbeid

Die algemeen vorms van die beginsel van virtuele arbeid (huidige-konfigurasie vorm, initial-konfigurasie vorm, en vermindering na infinitesimaal vervorming) is summarized in Beginsel van virtuele arbeid. Onder die aannames van infinitesimaal vervorming en reëlêre elastisiteit, die swak vorm is

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Deur in te vul die konstitutiewe vergelyking \eqref{eq:2.1.5} en skryf \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) in Voigt notasie gee die vorm gebruik direk vir diskretisering:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

word verkry, waar \(D\) is die elasties matriks gedefinieer in Reëlêre elastisiteit. Vergelykings \eqref{eq:2.1.10} en \eqref{eq:2.1.7} constitute die beginsel van virtuele arbeid discretized hieronder.

Diskretisering en Samestelling van die Globaal Vergelyking

Discretizing die beginsel van virtuele arbeid in Eq.\( \eqref{eq:2.1.10} \) oor die eindig elemente gee

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Vir elke element, die verplasing veld is interpolated met behulp van die verplasings van die knope composing die element soos volg.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Die vervorming is dan gegee met behulp van Eq.\(\eqref{eq:2.1.4}\) soos volg.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Deur in te vul Eqs.\(\eqref{eq:2.1.12}\) en \(\eqref{eq:2.1.13}\) in Eq.\(\eqref{eq:2.1.11}\) gee

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Vergelyking \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan wees geskryf as

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hier, die komponente van die matriks en vektor gedefinieer deur Eqs.\(\eqref{eq:2.1.16}\) en \(\eqref{eq:2.1.17}\) kan wees bereken vir elke eindig element en saamgestel deur superposition.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Omdat Eq.\(\eqref{eq:2.1.15}\) holds vir 'n arbitrary virtueel verplasing \(\delta \boldsymbol{U}\), die volgende vergelyking word verkry.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Meanwhile, die verplasing randvoorwaarde in Eq.\(\eqref{eq:2.1.3}\) is uitgedruk soos volg.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Deur solving Eq.\(\eqref{eq:2.1.18}\) onderhewig na die beperking voorwaarde in Eq.\(\eqref{eq:2.1.19}\), die knoop- verplasing \(\boldsymbol{U}\) kan wees bepaal.

Sien Ook

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status